定稿线性空间.ppt

定义 设Ｖ是一个线性空间，如果对于任意两个元素? , ? ∈Ｖ，按照某种法那么有唯一的一个实数(记作:(? , ? ))与之对应，并且这种对应法那么满足： 等号成立当且仅当 对任意?， ?，? ∈Ｖ，?∈Ｒ 那么称这个数为? 、? 的内积。 定义了内积的实线性空间称为为欧几里得空间，简称欧氏空间。 一、 欧氏空间的定义与性质 * 精选文档 例 说明 1. 维向量的内积是3维向量数量积 的推广，但是没有3维向量直观的几何意义． 2.內积是向量的一种运算，如 果 都是列向量， 则內积可用矩阵表示为： 在Rn中通常定义內积为； 对任意两向量 * 精选文档 例 在实连续函数组成的线性空间C[a,b]中通常定义內积为； 对任意两向量 * 精选文档 定义 称为向量 x 的长度, 二、向量的长度及性质 令 定义 单位向量 (1) 长度具有下述性质： 3. Cauchy-Schwarz不等式 等号成立当且仅当? , ? 线性相关 (2) 当 时， 称?为向量 夹角 * 精选文档 例 在Rn中通常的向量长度； 对任意向量 Cauchy-Schwarz 不等式为： 例 在实连续函数组成的线性空C[a,b]中通常定义长度为； 对任意两向量 它们的长度 Cauchy-Schwarz 不等式为： * 精选文档 解 * 精选文档 １ 正交的概念 ２ 正交向量组的概念 正交 假设一非零向量组中的向量两两正交， 那么称该向量组为正交向量组． 三、正交向量组的概念及求法 ３ 正交向量组的性质 易证明 线性无关的向量组不一定正交 * 精选文档 证明 * 精选文档 ４ 向量空间的正交基与标准正交基 若 是向量空间V的一组基，且两两正交， 则称它是向量空间的一组正交基；进一步，若向量 都是单位向量，则称它为标准正交基（或规范正交基） 例如 为R4 标准正交基 * 精选文档 (2). 正交基与标准正交基都不唯一 (4). 标准正交基下向量间的內积与向量的长度计算简单 (3). 标准正交基下的坐标计算简单,例如对向量?，其坐标 分别是? , ? 的坐标 其中 注 (1). n维向量空间中 第i个坐标 是一组正交基, 当然也是一组标准正交基 * 精选文档 例 三维向量空间中两个向量 正交，试求 使 构成三维空间的一个正交基. * 精选文档 即 解之得 由上可知 构成三维空间的一个正交基. 则有 解 * 精选文档 5 求正交基的方法 定理 若 是向量空间V的一组线性无关的向量 可以得到V中的正交的单位向量组 与之等价。 结论: n 维线性空间总存在标准正交基。 下面是任意线性无关向量组的标准正交化过程 * 精选文档 〔2〕单位化，取 （1）正交化，取 ， 下面是其标准正交化过程 (1) 称为施密特正交化过程 * 精选文档 例 用施密特正交化方法，将向量组 正交规范化. 解 先正交化， 取 * 精选文档 再单位化， 得标准正交向量组如下 * 精选文档 例 解 把根底解系正交化，即合所求．亦即取 其根底解系 * 精选文档 并且 * 精选文档 　　线性空间的元素统称为“向量〞，但它可以是 通常的向量，也可以是矩阵、多项式、函数等. 线性空间 是一个集合 对所定义的加法及数乘运算封闭 所定义的加法及数乘符合线性运算 小结： 　　线性空间是二维、三维几何空间及 维向量 空间的推广，它在理论上具有高度的概括性. 如同n维向量一样我们可讨论向量的线性相关性等概念 * 精选文档 线性空间 线性空间的基与维数 元素在给定基下的坐标 * 精选文档 线性空间的基与维数 　　已知：在　 中，线性无关的向量组最多由 个向量组成，而任意 个向量都是线性相关的． 问题： 在一般的线性空间 V 中，最多能有多少 线性无关的向量？ * 精选文档 向量的线性相关性定义 对于向量 若存在不全为零的数 那么称向量组线性相关，否那么成线性无关。 可看出：线性相关性定义与n维向量的线性相关性 定义并无区别，所以有关线性运算的其他定义， 比方线性表示，向量组的等价性等概念都与n维 向量相应定义雷同。 * 精选文档 定义１ 在线性空间 中，如果存在 个元素 满足： 　　当一个线性空间 中存在任意多个线性无关 的向量时，就称 是无限维的． 那么 称为线性空间V的一个基， n 称为线性空间的