《离散数学B》习题答案第八、九章代数系统.docxVIP

习题册 第8章 1、设 A=P({a,b})，写出A上的?和 ～运算的运算表，是否满足封闭性。 答： 由运算表可知?和～对于A都满足封闭性。 2、设代数系统A,*，A中任意元素x和y,x*y=x+y+5xy, (1) 判断*运算是否满足交换律和结合律，并说明理由. (2) 求出*运算的单位元、零元和所有可逆元素的逆元. 答：(1)*运算可交换，可结合. 任取A中元素x,y x*y=x+y+5xy=y+x+5yx=y*x, 任取A中元素x,y,z (x*y)*z = (x+y+5xy)+z+5(x+y+5xy)z = x+y+z+5xy+5xz+5yz+25xyz x*(y*z)=x+(y+z+5yz)+5x(y+z+5yz) = x+y+z+5xy+5xz+5yz+25xyz (x*y)*z = x*(y*z) (2)设*运算的单位元和零元分别为e和θ，则对于任意x有x*e= x成立，即x+e+5xe=x ? 则e=0 由于*运算可交换，所以0是幺元。 对于任意 x 有x*θ=θ成立，即 x+θ+5xθ=θ ? x+5xθ= 0 ? θ=-1/5 对于任意 x，设x的逆元为y,则有x*y=0成立，即 x+y+5xy=0 ? (5x+1)y=-x y=-x/(5x+1) (x≠-1/5) 因此当x≠-1/5时，-x/(5x+1)是x的逆元。 3、设*是集合A上可结合的二元运算，且a,bA,若a*b=b*a，则a=b。试证明： （1）aA,a*a=a，即a是等幂元； （2） a,bA,a*b*a=a; （3） a,b,cA,a*b*c=a*c。 证明： （1）aA,记b=a*a。因为*是可结合的，故有b*a=(a*a)*a=a* (a*a)=a*b。由已知条件可得a=a*a。 （2）a,bA,因为由（1），a*(a*b*a)=(a*a)*(b*a)=a*(b*a), (a*b*a)*a=(a*b)*(a*a)=(a*b)*a=a*(b*a)。 故a*(a*b*a)=(a*b*a)*a，从而a*b*a=a。 （3） a,b,cA,（a*b*c）*（a*c）=（（a*b*c）*a）*c=(a*(b*c)*a)*c 且(a*c)*(a*b*c)=a*(c*(a*b*c))=a*(c*(a*b)*c))。 由（2）可知a*(b*c)*a=a且c*(a*b)*c=c， 故（a*b*c）*（a*c）=(a*(b*c)*a)*c=a*c 且(a*c)*(a*b*c)= a*(c*(a*b)*c))= a*c， 即（a*b*c）*（a*c）=(a*c)*(a*b*c)。 从而由已知条件知，a*b*c=a*c。 4、证明代数系统(N3,+3)到(N6,+6)单一同态。 证明：今构造映射函数如下： f(0)=0,f(1)=2,f(2)=4, 试证明f是同态映射。 函数f写成f(k)=2k， f(a+3b)=2(a+3b)=2(a+b-3[(a+b)/3])=2a+2b-6[(2a+2b)/6] = 2a+62b=f(a)+6f(b) 所以代数系统(N3,+3)到(N6,+6)存在同态映射f,f为单一同态。 5、设A,*为半群，aA。令Aa={ai | iI+ }。试证Aa,*是A,*的子半群。 证明： b，cAa，则存在k,lI+，使得b=ak,c=al。从而b*c=ak*al=ak+l。因为k+lI+，所以b*cAa，即Aa关于运算*封闭。 故Aa,*是A,*的子半群。 6、Z上的二元运算*定义为：a,bZ，a*b=a+b-2。试证：Z,*为独异点。 证明： （1）a,bZ，a+b-2Z，满足封闭性。 （2）a,b,cZ，(a*b)*c=(a*b)+c-2=(a+b-2)+c-2=a+b+c-4, a*(b*c) =a+(b*c)-2=a+(b+c-2)-2=a+b+c-4。故(a*b)*c= a*(b*c)，从而*满足结合律。 （3）记e=2。对aZ，a*2=a+2-2=a=2+a-2=2*a.。故e=2是Z关于运算*的单位元。 综上所述，Z,*为独异点。 设（A,*）是一个独异点，使得对于A中每个x，x*x=e，其中e是单位元，证明（A，*） 是阿贝尔群。 证明：每个x?A逆元均为自己，(A,*)是群。 a*b=a*e*b=a*((a*b)*(a*b))*b=(a*a)*(b*a)*(b*b)=e*(b*a)*e =b*a (可交换)。 8、设G,是一个群，则对于