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数学物理方法试卷（4 ）答案
1.解：（1）由极坐标系中的C −R 条件可得：
∂v 1 ∂u ∂v ∂u
=− 0 ρ 1
∂ρ ρ ϕ∂ ∂ϕ ∂ρ
∂v ∂v
ρ ϕ ϕ ϕ
dv d =+ d d v +C
∂ρ ∂ϕ
f z u =+iv ρ=+ +i ϕ+iC z =+iC +
( ) ln 1 ln 1
f iC =+ ⇒C
(1) 1 0
则f (z ) ln z =+1
(2) 由C −R 条件可得：
∂ ∂ ∂ ∂
u v 2 2 u v
− + =− =−
3x 3y 1 6xy
∂x ∂y ∂y ∂x
∂u ∂u 2 2
=+ =− + + −
du dx dy (3x 3y 1)dx ( 6xy)dy
∂x ∂y
3 2
=− + +
u x 3xy x C
f z u =+iv x3 =− xy 2 +x +C +i x 2 y −iy 3 +iy
( ) 3 3
z 3 =+z +C
f (0) C 2
则f (z ) z 3 =+z +2
本题共12 分。第（1）、（2 ）各6 分。
1 1 1
2 ．解：（1） =⋅
(z 2 +1)2 (z +i )2 (z −i )2
1 1
′
=− 2 ⋅( )
(z +i ) z −i
1 1
′
=− 2 ⋅( )
− + +
(z +i ) 2i ( z i)
∞ k
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