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11角平分线的性质会计学第1页/共26页如图,是一个平分角的仪器,其中AB=AD,CB=CD,将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就是角的平分线。你能说明它的道理吗?A12DB根据SSS, 可知两个三角形全等∴∠1=∠2C从上面的探究你能得出作一个角的角平分线的方法吗?EADPOEB第2页/共26页做一做1。你能用折叠的办法折出一个角的平分线吗?将∠AOB对折2。再折出一个直角三角形,(使角平分线为斜边,OA与OB为直角边)A观察两次折出的三条折痕,你能得出什么结论?BAC第二次折出的两条折痕的长度相等。P你能说明其中的道理吗?AASOOB从上面的实验中,你能得到什么结论?第3页/共26页由此我们得到角平分线的性质定理:角的平分线上的点到角的两边的距离相等你能用三角形全等证明这个性质吗?ADCPOEB第4页/共26页已知:OC是∠AOB 的平分线,P在OC上,PD⊥OA于D, PE⊥OB于E,求证:PD=PE分析:仔细观察图形,思考证明两条线断相等的方法有哪些?△PDO≌ △PEO吗?第5页/共26页思考:如图所示OC是∠AOB 的平分线,P 是OC上任意一点,问PE=PD?为什么?AEOCPDBPD,PE没有垂直OA,OB,它们不是角平分线上任一点到这个角两边的距离,所以不一定相等第6页/共26页已知:∠AOB求作:∠AOB的平分线A作法:(1)以O为圆心,适当长为半径作弧,交OA于M,交OB于N;M(2)分别以M、N为圆心,大于MN的长为半径作弧,两弧在∠AOB的内部交于点C.CO(3)作射线OC.射线OC即为所求。NB你能说明其中的道理吗?做P108页的练习,并回答问题。ADPOEB第7页/共26页已知:如图,OP是∠AOB的平分线,点P在OC上,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D,E求证:PD=PE证明: ∵∠1=∠2 , OP=OP∠PDO=∠PEO=90°∴⊿PDO≌⊿PEO (AAS)∴PD=PE (全等三角形的对应边相等) C12 定理:在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 该定理的题设和结论分别是什么?OP 是 的平分线(1)角的平分线;(2)点在该平分线上;(3)垂直距离。ADPOEB第8页/共26页角平分线的性质定理定理 1在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。定理应用所具备的条件:定理的作用: 证明线段相等。推理的理由有三个,必须写完全,不能少了任何一个。应用定理的书写格式:∵\(在角的平分线上的点 到这个角的两边的距离相等。)PD = PE第9页/共26页如果交换定理1的题设、结论,能得到怎样的命题,这是一个真命题吗? 逆命题: 到一个角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上。已知:如图,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E, PD=PE。求证:点P在∠AOB的平分线上。证明: 在Rt⊿ODP和Rt⊿OEP中,∠ODP=∠OEP=90°OP=OP, PD=PERt⊿OPD≌Rt⊿OPE (HL)定理 2 到一个角的两边的距离相等的点, 在这个角的平分线上。OP 是 的平分线第10页/共26页定理 2的应用书写格式:∵PD= PE\ (到一个角的两边的距离相等的点, 在这个角的平分线上)用途:判定一条射线是角平分线第11页/共26页例题展示:例:如图,△ABC的角平分线BM,CN相交于点P。求证:点P到三边AB,BC,CA的距离相等。ANMPCB第12页/共26页证明:过点P作PD,PE,PF分别垂直于AB,BC,CA,垂足为D、E、F,∵BM是△ABC的角平分线,点P在BM上,PD⊥AB, PE⊥BCA∴PD=PEDNFM同理 PE=PFP∴PD=PE=PFCBE即点P到三边AB,BC,CA的距离相等B13EA24C第13页/共26页例1已知:如图、E是∠BAC平分线上的一点,EB⊥AB,EC⊥AC,B,C分别是垂足。求证:∠EBC=∠ECB证明:∵ E是∠BAC平分线上的一点,EB⊥AB,EC⊥AC∴EB=EC(在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等)(在一个三角形中,等边对等角)∴∠EBC=∠ECB想一想:题中BC 被AE垂直平分吗?∵∠ABE=∠ACE=Rt∠ ∠1=∠ 2∴∠3=∠4又∵EB=EC∴ AE垂直平分BC 北河 流公 路比例尺1:20000第14页/共26页 如图,开发区一个工厂,在公路西侧,到公路的距离与到河岸的距离相等,并且与河上公路桥较近桥头的距离为500米。你能尝试确定工厂的位置吗?并说明理由。 ∵到公路的距离与到河岸的距离相等∴工厂在河岸与公路的角平分线上 (到一个角的两边的距离相等的点, 在这个角的平分线上)以角的顶点
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