d可分离考研数学.pptx

D可分离考研数学会计学第1页/共15页例1. 求微分方程的通解.说明: 在求解过程中每一步不一定是同解变形,解: 分离变量得因此可能增、两边积分减解.或得即( C 为任意常数 )( 此式含分离变量时丢失的解 y = 0 )机动 目录 上页 下页 返回 结束 第2页/共15页例2. 解初值问题解: 分离变量得两边积分得即( C 为任意常数 )由初始条件得 C = 1,故所求特解为机动 目录 上页 下页 返回 结束 第3页/共15页例3. 求下述微分方程的通解:则解: 令 故有即解得( C 为任意常数 )所求通解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 第4页/共15页练习:解法 1 分离变量即( C 0 )解法 2故有积分( C 为任意常数 )所求通解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 第5页/共15页已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原例4. 求在子的含量 M 成正比,已知 t = 0 时铀的含量为衰变过程中铀含量 M(t) 随时间 t 的变化规律. 解: 根据题意, 有(初始条件)对方程分离变量, 然后积分:即利用初始条件, 得故所求铀的变化规律为机动 目录 上页 下页 返回 结束 第6页/共15页例5.设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度 成正比,并设降落伞离开跳伞塔时( t = 0 ) 速度为0,求降落伞下落速度与时间的函数关系.解: 根据牛顿第二定律列方程初始条件为对方程分离变量,然后积分 :得t 足够大时利用初始条件, 得代入上式后化简, 得特解机动 目录 上页 下页 返回 结束 流量系数孔口截面面积重力加速度第7页/共15页例6. 有高 1m 的半球形容器, 水从它的底部小孔流出,小孔横截面积开始时容器内盛满了水,求水从小孔流出过程中, 容器里水面的高度 h 随时间 t 的变化规律.解: 由水力学知, 水从孔口流出的流量为即内水面高度由 h 降到 设在机动 目录 上页 下页 返回 结束 第8页/共15页对应下降体积因此得微分方程定解问题:将方程分离变量:机动 目录 上页 下页 返回 结束 第9页/共15页两端积分, 得利用初始条件, 得因此容器内水面高度 h 与时间 t 有下列关系:机动 目录 上页 下页 返回 结束 第10页/共15页内容小结1. 微分方程的概念阶;定解条件;解; 微分方程;通解;特解说明: 通解不一定是方程的全部解 .有解例如, 方程 y = – x 及 y = C 后者是通解 , 但不包含前一个解 .2. 可分离变量方程的求解方法:分离变量后积分;根据定解条件定常数 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 第11页/共15页3. 解微分方程应用题的方法和步骤 找出事物的共性及可贯穿于全过程的规律列方程.常用的方法:1) 根据几何关系列方程 ( 如: P263,5(2) ) 2) 根据物理规律列方程 ( 如: 例4 , 例 5 )3)根据微量分析平衡关系列方程 ( 如: 例6 )(2) 利用反映事物个性的特殊状态确定定解条件.(3) 求通解, 并根据定解条件确定特解. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第12页/共15页思考与练习 求下列方程的通解 :(1) 分离变量提示:(2) 方程变形为机动 目录 上页 下页 返回 结束 第13页/共15页作业P 269 1 (1) , (5) , (7) , (10); 2 (3), (4) ; 4 ; 5 ; 6第三节 目录 上页 下页 返回 结束 第14页/共15页备用题 已知曲线积分求由与路径无关, 其中确定的隐函数解:因积分与路径无关 , 故有即因此有机动 目录 上页 下页 返回 结束