复变函数积分的概念.ppt

第一节 复变函数积分的概念 一、积分的定义 三、积分存在的条件及其计算法 二、积分的性质 四、小结与思考 一、积分的定义 1.有向曲线: 设C为平面上给定的一条光滑(或按段光滑)曲线, 如果选定C的两个可能方向中的一个作为正方向(或正向), 那么我们就把C理解为带有方向的曲线, 称为有向曲线. 如果A到B作为曲线C的正向, 那么B到A就是曲线C的负向, 简单闭曲线正向的定义: 简单闭曲线C的正向是指当曲线上的点P顺此方向前进时, 邻近P点的曲线的内部始终位于P点的左方. 与之相反的方向就是曲线的负方向. 关于曲线方向的说明: 在今后的讨论中,常把两个端点中的一个作为起点, 另一个作为终点, 除特殊声明外, 正方向总是指从起点到终点的方向. 2.积分的定义: ( 关于定义的说明: 二、积分的性质 复积分与实变函数的定积分有类似的性质. 估值不等式 性质(4)的证明 两端取极限得 [证毕] 三、积分存在的条件及其计算法 1. 存在的条件 证 正方向为参数增加的方向, 根据线积分的存在定理, 当 n 无限增大而弧段长度的最大值趋于零时, 在形式上可以看成是 公式 2. 积分的计算法 在今后讨论的积分中, 总假定被积函数是连续的, 曲线 C 是按段光滑的. 例1 解 直线方程为 这两个积分都与路线C 无关 例2 解 (1) 积分路径的参数方程为 y=x (2) 积分路径的参数方程为 y=x y=x (3) 积分路径由两段直线段构成 x轴上直线段的参数方程为 1到1+i直线段的参数方程为 例3 解 积分路径的参数方程为