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第一课时 两角和与差的余弦 教学目标： 掌握两角和与差的余弦公式，能用公式进行简单的求值；培养学生的应用意识，提高学 生的数学素质. 教学重点： 余弦的差角公式及简单应用 教学难点： 余弦的差角公式的推导 教学过程： Ⅰ.课题导入 在前面咱们共同学习了任意角的三角函数，在研究三角函数时，我们还常常会遇到这样 的问题：已知任意角α、β 的三角函数值，如何求α＋β、α－β 或2α的三角函数值?即：α＋β、 α－β 或2α的三角函数值与α、β 的三角函数值有什么关系? Ⅱ.讲授新课 接下来，我们继续考虑如何把两角差的余弦cos （α－β）用α、β 的三角函数来表示的问 题. 在直角坐标系xOy 中，以Ox轴为始边分别作角α、β，其终边分别与单位圆交于P （cosα， 1 sinα）、P （cosβ，sinβ），则∠P OP ＝α－β.由于余弦函数是周期为2π 的偶函数，所以，我们 2 1 2 只需考虑0≤α－β＜π 的情况. → → 设向量a＝OP ＝（cosα，sinα），b＝OP ＝（cosβ，sinβ），则： 1 2 a·b＝︱a ︱︱b ︱cos （α－β）＝cos （α－β） 另一方面，由向量数量积的坐标表示，有 a·b＝cosαcosβ＋sinαsinβ 所以：cos （α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ （C ） α β （－ ） 两角和的余弦公式对于任意的角α、β 都是成立的，不妨，将此公式中的β 用－β 代替， 看可得到什么新的结果? cos ［α－（－β）］ ＝cosαcos （－β）－sinαsin （－β） ＝cosαcosβ－sinαsinβ 即：cos （α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ （C ） α β （＋ ） 请同学们观察这一关系式与两角差的余弦公式，看这两式有什么区别和联系? (1)这一式子表示的是任意两角α与β 的差α－β 的余弦与这两角的三角函数的关系. (2)这两式均表示的是两角之和或差与这两角的三角函数的关系. 请同学们仔细观察它们各自的特点. (1)两角之和的余弦等于这两角余弦之积与其正弦之积的差. (2)两角之差的余弦等于这两角余弦之积与其正弦之积的和. 黄牛课件 不难发现，利用这一式子也可求出一些与特殊角有关的非特殊角的余弦值. 如：求cos15°可化为求cos （45°－30°)或cos （60°－45°）利用这一式子而求得其值. 即：cos15°＝cos （45°－30°） ＝cos45°cos30°＋sin45°sin30° 2 3 21 6＋ 2 ＝ · ＋ · ＝ 2 2 2 2 4 或：cos15°＝cos （60°－45°） ＝cos60°cos45°＋sin60°sin45° 1 2 3 2 6＋ 2 ＝ · ＋ · ＝ 2 2 2 2 4 π 请同学们将此公式中的α用 代替，看可得到什么新的结果? 2 π