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第八章复习 圆锥曲线方程综合复习 【知识总结】 1．知识网络 2．知识纲要 (1)椭圆的定义、标准方程、几何性质、参数方程． (2)双曲线的定义、标准方程、几何性质． (3)抛物线的定义、标准方程、几何性质． (4)圆锥曲线的应用． 【方法总结】 1．坐标法是解析几何的基本方法，它是用代数的方法研究几何问题． 2．待定系数法是求椭圆、双曲线、抛物线方程的一个基本方法．利用椭圆、双曲线、 抛物线的定义解题也是常用的方法． 3．直线和圆锥曲线的位置关系，可转化为直线和圆锥曲线的方程的公共解问题，体现 了方程的思想．数形结合也是解决直线和圆锥曲线位置关系的常用方法． 4．一些最值问题常用函数思想，运用韦达定理求弦的中点和弦长问题，是经常使用的 方法． 5．在求一些没有坐标系的动点的轨迹方程时，应建立适当的坐标系．利用平移公式把 非标准位置的圆锥曲线转化成标准位置的圆锥曲线．由标准位置的圆锥曲线的性质，容易求 出非标准位置的圆锥曲线的性质． 【典例剖析】 ［例1］ 已知α ∈［0，π)，试讨论当α 的值变化时，方程x sinα ＋ycosα ＝1表示2 2 曲线的形状． 2 解：(1)当α ＝0时，方程为y ＝1，即y＝±1，表示两条平行于x轴的直线．  x2 y2 (2)当α ∈(0， )时，cosα ＞sinα ＞0，方程可化为  ＝1，表示焦点在 4 1 1   sin cos x轴上的椭圆．  2 2 2 4 2 (3)当α ＝ 时，方程为x ＋y ＝ ，表示圆心在原点，半径为 的圆． 4   , 2 2 (4)当α ∈( )时，sinα ＞cosα ＞0，方程x sinα ＋ycosα ＝1表示焦点在y轴上的 4 2 椭圆．  2 (5)当α ＝ 时，方程化为x ＝1，表示两条平行于y 轴的直线． 2  2 2 (6)当α ∈( ，π)时，sinα ＞0 ，cosα ＜0 ，方程x sinα ＋y cosα ＝1 表示焦点在x 轴 2 上的双曲线． 2 2 点评：方程x sinα ＋y cosα ＝1 表示的曲线的类型由sinα 和cosα 的值确定，sinα 和 2 2 cosα 的值又由α 的值确定．α 在不同范围内取值时，方程x sinα ＋y cosα ＝1 表示的曲线 的类型不同．因此解答本例的关键之处在于对α 的分类讨论． ［例2 ］ 一炮弹在某处爆炸，在A 处听到爆炸声的时间比在B 处晚2 s ． (1)爆炸点应在什么样的曲线上？ (2) 已知A 、B 两点相距800 m，并且此时声速为340 m/s，求曲线的方程． 解：(1) 由声速及A 、B 两点听到爆炸声的时间差，可知A 、B 两点与爆炸点的距离差， 因此爆炸点应位于以A 、B 为焦点的双曲线上．因