第四讲五年级奥数牛吃草.pdf

第四讲 牛吃草问题 牛吃草问题的知识要点 1、定义 英国科学家牛顿在他的 《普通算术》一书中，有一道关于牛在牧场上吃草的问题，即牛在牧场上吃草， 牧场上的草在不断的、均匀的生长．后人把这类问题称为牛吃草问题或叫做“牛顿问题”。这类问题难在 哪呢？ 到底什么是“牛吃草问题”呢？举两个简单例子来说明： 举例一：仓库里有一堆草，给 4 头牛吃，6 天可以吃完，如果给 3 头牛吃，几天能吃完？ 这道题该怎么处理呢？我们可以借助下面这个关系式来进行求解： 由于每头牛每天的吃草量是不变的，因此可以把它设为单位“1”．这样 4 头牛 6 天吃掉的草量就等 于 4× 6 = 24（个）单位，而 3 头牛每天吃掉“3”个单位的草，因此 3 头牛需要 24 ÷ 3 = 8（天）才 能吃完．但是，这道题还不是真正的“牛吃草问题”。 真正的“牛吃草问题”不是让一群牛去仓库里吃草，而是去一片草地上吃草。二者之间最大区别在于 仓库里草的总量是固定不变的，而草地上的草是在不停地生长，这样一来问题就变复杂了。 举例二：有一片牧场，草每天都在均匀地生长。如果在牧场上放养 18 头牛，那么 10 天就把草吃完 了；如果放养24 头牛，那么 7 天就把草吃完了。 （1）如果放养32 头牛，多少天可以把草吃完？ （2）要放养多少头牛，才能恰好14 天把草吃完？ 分析： . 这是最常见的牛吃草问题，这类问题的难点在于牛吃草的同时，草还在生长 假设一头牛一天吃1 个单位的草，会发现两种放养方法吃的总草量不同。为什么会这样呢？因为两次草生长的天数不同，于是 就可以算出草生长的速度了． 2、特点 在“牛吃草”问题中，因为草每天都在生长，草的数量在不断变化，也就是说这类问题的工作总量是 不固定的，一直在均匀变化。 把例 1 的方法总结一下，得出牛吃草问题的基本解题步骤： . 1 将每头牛每天的吃草量设为单位“1”； 2. 比较已知条件中牛的吃草总量，算出草每天的生长量； . 3 计算草地原有草的总量； 4. 根据所问问题求解． 知识点拨： “牛吃草”问题主要涉及三个量：草的数量、牛的头数、时间。难点在于随着时间的增长，草也在 Page 1 of 11 按不变的速度均匀生长，所以草的总量不定。解“牛吃草”问题的主要依据： 1. 草的每天生长量不变； 2. 每头牛每天的食草量不变；   3. 草的总量 草场原有的草量 新生的草量，其中草场原有的草量是一个固定值   4. 新生的草量 每天生长量 天数． 同一片牧场中的“牛吃草”问题，一般的解法可总结为： 1. 设定 1 头牛 1 天吃草量为“1”；       2. 草的生长速度 (对应牛的头数 较多天数 对应牛的头数 较少天数) (较多天数 较少天 数)；     3. 原来的草量 对应牛的头数 吃的天数 草的生长速度 吃的天数；    4. 吃的天数 原来的草量 (牛的头数 草的生长速度)；    5. 牛的头数 原来的草量 吃的天数 草的生长速度。 “牛吃草”问题有很多的变例，像抽水问题、检票口检票问题、资源量问题、部分行程问题等等，只 有理解了“牛吃草”问题的本质和解题思路，才能以不变应万变，轻松解决此类问题。 例题精讲： 板块一、一块地的“牛吃草问题” 【例 1 】 有一片牧场，草每天都在均匀地生长．如果