第08讲 几何图形的认知.pdf

第08讲 几何问题第01讲 几何图形认知 例1 图8—1 中的三个图形都是由A、B、C、D(线段或圆)中的两个组合而成，记为A*B、 C*D、A*D．请你画出表示A*C 的图形． 答案 A*C 表示的图形如图8—2． 分析 这是一道寻找几何图形规律的问题．已知的三个图形均由线段或圆组成， 线段可以是横向或竖向的，圆可以是大的或小的．我们应该观察三个图形以及它们 的字母表示式之间的内在关系，推断出每个字母表示的图形．然后再通过组合得列所 求的图形． 详解 观察图 8—1，第一个图形和第三个图形的共同之处是都有一条竖向线段，而它 们共有的字母是A，因此A 表示竖向线段；第二个图形与第三个图形的共同之处是都有一 条横向线段，它们的共同字母是D，因此D 表示横向线段．这样，由第一个图形可知B 表示 大圆，由第二个图形可知C 表示小圆，从而A*C 表示的图形应为竖向线段和小圆组合而成， 即图8—2． 评注 在寻找几何图形规律的时候，观察与分析是最重要的技巧．通过观察与分析，我 们可以发现几何图形的组成规律和搭配关系．有时还要注意到运动规律，例如对称翻转、平 移、覆盖等等． 例2 如图8—3，将正方形纸片由下往上对折，再由左向右对折，称为完成一次操作．按 上述规则完成五次操作以后，剪去所得小正方形的左下角．问：当展开这张正方形纸片后， 共有多少个小洞孔? 答案 256 个． 分析 由于对折的情况比较复杂，我们不妨只考虑一次操作的情况：把已经过若干次操 作的纸片由右向左打开，再由上到下打开，我们称之为一次反操作．观察图8—3 容易看到， 把第三个图中纸片的左下角剪去之后进行一次反操作得到第一个图中的纸片，该纸片只在正 方形的中心处有一个洞孔．对这张纸片再进行一次反操作，得到的纸片是一个更大的正方形， 被划成四个小正方形，在每个小正方形的中心处有一个洞孔．按照这样的方法继续进行反操 作，就可以得到答案． 详解 对已经过五次操作且剪去左下角的纸片做一次反操作，得到的纸片有1个洞孔； 再进行一次反操作，得到的纸片上有 1 x 4=4个洞孔．按照这个方法继续做反操作，我 们发现规律：从第二次开始，每经过一次反操作，得到的纸片上的洞孔数是反操作前洞孔数 的4 倍． ‘ 因此，在进行了五次反操作以后，纸片上的洞孔数应为 1×4×4×4 × 4=256(个)． 评注 对纸片进行反操作的方法实际是受到操作过程的启发而产生的，只要弄明白每一 次操作的过程和剪去一角产生的效果，就不难搞清楚多次操作的结果．另外，要善于联想， 发现数字间的规律． 例3 用红、黄、蓝、白、黑、绿六种颜色分别涂在正方体的各个面上 ，每一个面只涂一种颜色．如图8—4 所示，现有涂色方式完全一样的四块 小正方体拼成了一个长方体．试回答：每个小正方体中，红色面的对面涂的 是什么色?黄色面的对面涂的是什么色?黑色面的对面是什么色? 答案 红色面的对面涂的是绿色，黄色面的对面涂的是蓝色，黑色面的 对面涂的是白色． 分析 由于四个正方体拼成了一个长方体，所以在四个正方体一共有的 6×4=24 个面中，我们只能看到 9 个面，并且不能看到正方体的任何一组相对 的面的涂色情况，这表明不可能通过直接的观察得到答案．但是，因为每个小正方体的涂色 情况是完全相同的，我们就可以通过观察与某种颜色的面相邻的面的颜色，来排除它的对面 可能的颜色，从而缩小选择的范围．出于这个目的，我们先关注在能看见的 9 个面中出现最 多的颜色，再顺次分析与推理． 详解 在能看见的 9 个面中红色出现的次数最多．观察图 8—4 中最上面的一个正方体， 由于红色和黑色、黄色相邻，所以它的对面不可能是黑黄两色．同理，由第二个正方体可知， 红色的对面不能是白色；由第三个正方体知，红色的对面不能是蓝色．所以红色的面的对面 只可能是绿色．同理，黄色面的对面不可能是红色、黑色或白色，又已推知不可能是绿色， 所以黄色面的对面只可能是蓝色．这样黑色面的对面就只可能是涂白色的了． 评注 这是一道逻辑推理性质的几何题，解题的关键在于必须意识到每个小正方体的每 个面只能涂一种颜色。六个面各不相同，而四个正方体的涂色情况则完全相同．排除法在我 们的解题中也起了重要的作用． 解这种问题还有一种