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《解析几何初步》全章复习与巩固
编稿:丁会敏 审稿:王静伟
【学习目标】
1.理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线斜率的计算公式,能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直;
2.掌握确定直线位置的几何要素,掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式),了解斜截式与一次函数的关系;
3.能用解方程组的方法求两直线的交点坐标;
4.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距离;
5.掌握圆的标准方程的特点,能根据所给有关圆心、半径的具体条件准确地写出圆的标准方程;
6.掌握圆的一般方程的特点,能将圆的一般方程化为圆的标准方程从而求出圆心的坐标和半径;
7.能根据给定直线、圆的方程,判断直线与圆、圆与圆的位置关系.
【知识网络】
【要点梳理】
要点一:直线方程的几种形式
(1)直线方程的几种表示形式中,除一般式外都有其适用范围,任何一种表示形式都有其优越性,需要根据条件灵活选用.
(2)在求解与直线方程有关的问题中,忽视对斜率不存在时的直线方程的讨论是常见的错误,应特别警惕.
(3)确定直线方程需要且只需两个独立条件,利用待定系数法求直线方程是常用方法.
常用的直线方程有:
①;
②;
③;
④(λ为参数).
要点二:两条直线的位置关系
1.特殊情况下的两直线平行与垂直.
(1)当两条直线的斜率都不存在时,两直线的倾斜角都为,互相平行;
(2)当一条直线的斜率不存在(倾斜角为),另一条直线的倾斜角为时,两直线互相垂直。
2.斜率都存在时两直线的平行:
(1)已知直线和,则=且
(2)已知直线:和:,则
∥ 。
要点诠释:对于一般式方程表示的直线的位置的判定,可以先将方程转化为斜截式形式,再作判定。
3.斜率都存在时两直线的垂直:
(1)已知直线和,则 ;
(2)已知直线:和:,则
.
要点三:点到直线的距离公式
1.点到直线距离公式:
点到直线的距离为:
2.两平行线间的距离公式
已知两条平行直线和的一般式方程为:,:,则与的距离为。
要点诠释:一般在其中一条直线上随意地取一点M,再求出点M到另一条直线的距离即可
要点四:对称问题
1.点关于点成中心对称
点关于点成中心对称的对称中心恰是这两点为端点的线段的中点,因此中心对称的问题是线段中点坐标公式的应用问题。
设,对称中心为,则P关于A的对称点为。
2 .点关于直线成轴对称
由轴对称定义知,对称轴即为两对称点连线的“垂直平分线”。利用“垂直”“平分”这两个条件建立方程组,就可求出对称点的坐标,一般情形如下:
设点关于直线的对称点为,则有,求出、。
特殊地,点关于直线的对称点为;点关于直线的对称点为。
3.两点关于点对称、两点关于直线对称的常见结论:
(1)点关于x轴的对称点为;
(2)点关于y轴的对称点为;
(3)点关于原点的对称点为;
(4)点关于直线的对称点为;
(5)点关于直线的对称点为。
要点五:圆的方程
求圆的方程通常果用待定系数法,若条件涉及圆心、半径等,可设成圆的标准方程;若条件涉及圆过一些定点,则可设成圆的一般方程.运用圆的几何性质可以使运算简便.
1.圆的标准方程
,其中为圆心,为半径.
要点诠释:(1)如果圆心在坐标原点,这时,圆的方程就是.有关图形特征与方程的转化:如:圆心在x轴上:b=0;圆与y轴相切时:;圆与x轴相切时:;与坐标轴相切时:;过原点:.
(2)圆的标准方程圆心为,半径为,它显现了圆的几何特点.
(3)标准方程的优点在于明确指出了圆心和半径.由圆的标准方程可知,确定一个圆的方程,只需要a、b、r这三个独立参数,因此,求圆的标准方程常用定义法和待定系数法.
2.圆的一般方程
当时,方程叫做圆的一般方程.为圆心,为半径.
要点诠释:由方程得
(1)当时,方程只有实数解.它表示一个点.
(2)当时,方程没有实数解,因而它不表示任何图形.
(3)当时,可以看出方程表示以为圆心,为半径的圆.
要点六:点和圆的位置关系
如果圆的标准方程为,圆心为,半径为,则有
(1)若点在圆上
(2)若点在圆外
(3)若点在圆内
要点七:直线与圆的位置关系
1.直线与圆的位置关系:
(1)直线与圆相交,有两个公共点;
(2)直线与圆相切,只有一个公共点;
(3)直线与圆相离,没有公共点.
2.直线与圆的位置关系的判定方法:
(1)代数法:
判断直线与圆C的方程组成的方程组是否有解.
如果有解,直线与圆C有公共点;
有两组实数解时,直线与圆C相交;
有一组实数解时,直线与圆C相切;
无实数解时,直线与圆C相离.
(2)几何法:
设直线,圆,圆心到直线的距离记为,则:
当时,直线与圆C相交;
当时,直线与圆C相切;
当时,直线与圆C相离.
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