人教版九年级上册数学教案 24.1.3 弧、弦、圆心角.docVIP

24.1.3 弧、弦、圆心角 【知识与技能】 1.理解圆心角概念和圆的旋转不变性. 2.掌握在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦之间的关系，以及它们在解题过程中的应用. 【过程与方法】 通过学生动手或计算机演示使学生感受圆的旋转不变性，发展学生的观察分析能力. 【情感态度与价值观】 培养学生勇于探索的良好习惯，激发学生探究，发现数学问题的兴趣. 圆心角、弧、弦之间的关系，并能运用此关系进行有关计算和证明. 理解圆的旋转不变性和定理推论的应用. 多媒体课件. 1. 圆是中心对称图形吗?它的对称中心在哪里?把圆绕圆心旋转任意一个角度呢？(课件演示)结论：圆是中心对称图形，圆心就是它的对称中心。不仅如此，把圆绕圆心旋转任意一个角度，所得图形都与原图形重合。 2. 定义：像∠AOB这样顶点在圆心的角叫做圆心角。 3. 认识：圆心角∠AOB所对的弧是、弦是AB，它们在⊙O中是一一对应的。 一、思考探究，获取新知 1.圆的旋转不变性 由上述探究活动中，我们不难发现： 围绕圆心O旋转任意角度α，都能与原来的图形重合，所以圆是中心对称图形，并且具有旋转不变的特征. 这也是车轮具有的特征，所以汽车才能正常行驶. 2.弧、弦、圆心角之间的关系 探究如图，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A′OB′的位置，你能发现哪些等量关系，为什么？ 【教学说明】让学生利用学具动手演示，观察，思考，同学之间合作交流，并归纳总结.教师提问几位学生代表回答他们发现的等量关系，教师同时在黑板上写出他们的结论. 【归纳结论】 AB=A′B′ ∴由圆的旋转不变性可得出下面的定理： 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相同. 议一议（1）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等吗？所对的弦相等吗？ （2）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等吗？所对的弧相等吗？ 【教学说明】学生利用学具，结合圆的旋转不变性，很容易得出结论.这两个问题是为了使学生深切体会，圆心角、弧、弦三者在同圆或等圆中之间存在的关系. 推论：在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等，所对的弦也相等. 在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，所对的弧也相等. 请同学们根据图形给出定理及其推论的符号语言. 【教学说明】培养学生用符号语言表示结论，发展学生用符号语言说理的能力. 由此可总结为：在同圆或等圆中，圆心角相等弧相等弦相等. 3.圆心角、弧、弦定理及推论的应用 例1如图，在⊙O中，AB=AC，∠ACB=60°，求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC. 分析：在⊙O中，要使圆心角相等，可通过证明圆心角所对的弦或弧相等解题. 证明：∵AB=AC，∴AB=AC，△ABC是等腰三角形. 又∠ACB=60°，∴△ABC是等边三角形，AB=BC=CA.∴∠AOB=∠BOC=∠AOC. 例2如图所示，以ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作⊙A，分别交BC、AD于E、F两点，交BA的延长线于G，判断EF和FG是否相等，并说明理由. 证明：如图.连接AE， ∵在ABCD中，AD∥BC， ∴∠1=∠2，∠3=∠4 又∵在⊙A中，AB=AE， ∴∠2=∠3，∴∠1=∠4 ∴EF=FG（在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等） 【教学说明】巩固定理内容，加深对定理的理解，初步应用定理解决问题，培养学生的逻辑推理能力及运用知识的能力. 二、典例精析，掌握新知 例1 如图：在⊙o中， = ;∠ACB＝60°。 求证：∠ACB=∠BOC=∠AOC. 【分析】由 = ,得到AB=AC，再由∠ACB=60°， 得到△ABC是等边三角形，AB=AC=BC,所以∠ACB=∠BOC=∠AOC. 变式训练：把“求证：∠ACB=∠BOC=∠AOC”改为“求∠AOB的度数”。 【教学说明】通过例题可以发现在同圆或等圆中，要说明两条弧相等可以寻找它们所对的弦或圆心角的关系来解决，同样的方法也可以来说明弦相等或圆心角相等。 三、运用新知，深化理解 1.观察下列选项中的图形及推理，其中正确的是： ∵∠AOB=∠A′OB′∵AD=BC ∴AB=A′B′∴AB=CD （1）（2） ∵∠AOC=∠BOC ∴AD=BC （3） 2.如图所示，C、D为半圆O的三等分点，AB为直径，则下列说法正确的有个. ①AD=CD=BC ②∠AOD=∠DOC=∠BOC ③四边形ADCO为菱形 【教学说明】这两道题要求学生当堂完成，学生独立思考并回答问题，教师作点评，要强调定理及推论的应用范围，以及对应量之间的关系.对回答好的同学及时给予鼓励表扬，增强学习数学的信心和热情. 【答案】1.（2） 2.3