2008年考研数学一试题分析、详解和评注.pdf

2008 年考研数学一试题分析、详解和评注 一、选择题：(本题共 8 小题，每小题 4 分，共 32 分. 每小题给出的四个选项中，只有一 项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内) 2 x （1）设函数f (x)  0 ln(2  t)dt ，则f (x) 的零点个数为【 】 (A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3． 【答案】应选(B). 【详解】f (x)  ln(2  x 2 ) 2x  2x ln(2  x 2 ) ． 显然f (x) 在区间(, ) 上连续，且f ( 1)  f (1)  (2 ln 3)  (2 ln 3)  0 ，由零 点定理，知f (x) 至少有一个零点．  2 4x 2  又f (x)  2 ln(2  x )  2  0 ，恒大于零，所以f (x) 在(, ) 上是单调递 2  x 增的．又因为f (0)  0 ，根据其单调性可知，f (x) 至多有一个零点． 故f (x) 有且只有一个零点．故应选(B). x （2 ）函数f (x , y )  arctan 在点(0,1)处的梯度等于【 】 y (A) i (B)  i . (C) j . (D)  j .　 【答案】 应选(A). 1 x  f y y f y 2 x 【详解】因为   ．   ． 2 2 2 2 2 2 x x x  y y x x  y 1 1 2 2 y y f f 所以  1，  0 ，于是gradf (x , y )  i .故应选(A). x y (0,1) (0,1) (0,1) （3 ）在下列微分方程中，以y  C ex  C cos 2x  C sin 2x （ C , C , C 为任意的常 1 2 3 1 2