考前三个月高考数学理科（全国通用）总复习.docx

PAGE PAGE 解答题滚动练 解答题滚动练1 1.(2017届长郡中学模拟)四边形ABCD如图所示，已知AB＝BC＝CD＝2，AD＝2eq \r(3). (1)求eq \r(3)cos A－cos C的值； (2)记△ABD与△BCD的面积分别是S1与S2，求Seq \o\al(2,1)＋Seq \o\al(2,2)的最大值. 解　(1)在△ABD中， BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcos A＝16－8eq \r(3)cos A， 在△BCD中， BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcos C＝8－8cos C， 所以eq \r(3)cos A－cos C＝1. (2)依题意Seq \o\al(2,1)＝eq \f(1,4)AB2·AD2sin2A＝12－12cos2A， Seq \o\al(2,2)＝eq \f(1,4)BC2·CD2sin2C＝4－4cos2C， 所以Seq \o\al(2,1)＋Seq \o\al(2,2)＝12－12cos2A＋4－4cos2C＝16－4(cos C＋1)2－4cos2C ＝－8cos2C－8cos C＋12＝－8eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos C＋\f(1,2)))2＋14， 因为2eq \r(3)－2＜BD＜4， 所以8－8cos C＝BD2∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(16－8\r(3)，16)). 解得－1＜cos C＜eq \r(3)－1， 所以Seq \o\al(2,1)＋Seq \o\al(2,2)≤14，当cos C＝－eq \f(1,2)时取等号，即Seq \o\al(2,1)＋Seq \o\al(2,2)的最大值为14. 2.已知等差数列{an}的公差为2，前n项和为Sn，且S1，S2，S4成等比数列. (1)求数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))的通项公式； (2)设bn＝eq \f(4,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(an＋1))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(an＋5)))，数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(bn))的前n项和为Tn，求证： Tn＜eq \f(3,4). (1)解　∵等差数列{an}的公差为2，前n项和为Sn， ∴Sn＝na1＋eq \f(n\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n－1)),2)d＝n2－n＋na1， ∵S1，S2，S4成等比数列， ∴Seq \o\al(2,2)＝S1·S4， 即(22－2＋2a1)2＝a1·(42－4＋4a1)，化为(1＋a1)2＝a1(3＋a1)，解得a1＝1. ∴an＝a1＋(n－1)d＝1＋2(n－1)＝2n－1. (2)证明　由(1)可得an＝2n－1，则bn＝eq \f(4,?an＋1??an＋5?) ＝eq \f(4,?2n－1＋1??2n－1＋5?)＝eq \f(1,n?n＋2?)＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)－\f(1,n＋2)))， ∴Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn ＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))＋eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,4)))＋eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－\f(1,5)))＋eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)－\f(1,6)))＋…＋eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)－\f(1,n＋2))) ＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)＋\f(1,2)－\f(1,4)＋\f(1,3)－\f(1,5)＋\f(1,4)－\f(1,6)＋…＋\f(1,n)－\f(1,n＋2)))＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2)－\f(1,n＋1)－\f(1,n＋2)))＝eq \f(3,4)－eq \f(2n＋3,2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n＋1))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n＋2))). ∵n∈N*， ∴eq \f(2n＋3,2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n＋1))\b\lc\(\rc\)