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第4章一阶线性微分方程组 一内容提要 1.基本概念 一阶微分方程组：形如 警二人（科必，乃，…,儿） Ldx （3.1）的方程组，（其中 是关于 X 的未知函数）叫做一阶微分方程组。 若存在一组函数 必⑴屈（几…必（劝 使得在［a,b］上有恒等式 总弹*（工』⑴』2何…，儿⑴）（212…屮） 成立，则 必⑴屈⑴…必（X） 称为一阶微分方程组（3.1）的一个解 含有n任意常数 的解 H（扯GG，…C）寸丁2=02（X、C] ?*?*** HwaGG，…,G） 称为（3.1）通解。如果通解满方程组 ①1（兀卩己,…必,Ge，…o=o斗①2（热儿乃■…，儿d牯…C）=o ■*■■■-■ .①…‘儿，G*G’…，匸口）=。 则称这个方程组为（3.1）的通积分。 满足初始条件 必仏）*0必仏）=JVJ儿仏）打册的解，叫做初值问题的解。 令n维向量函数 Y yiM 乃⑴ n 9 一几血 ，F（ X ，Y）= 拆（兀戸』浙…，几）人（兀另』“…，儿） ■ ■ dx dY(x) dx % dx rz（忑曲 则（3.1）可记成向量形式 dY可“dx （3.2） 初始条件可记为 丫（ ）= ,其中 10_ T/yso 片= m 丿叽 则初值问题为： (3.3) 一阶线性微分方程组：形如 c/y -77=^1（力开+%（x）y2十…十州丹（刃十土（龙）dx ~=夠（对乃+°22（工）乃+…+。為CO+fl（X） 5OX 警=褊何戸+。诅00力+（巧+托⑶ 令A()=及F(（3.4） 令 A( )= 及F( X 4iw…见(戈) ■ 4■ ■I? 也)…aw(x) X) 朋) ■ ■ ■ _ZtW_ 则（3.4）的向量形式: dx (3.5) F( (3.6) 称为一阶线性齐次方程组 (3.5)式称为一阶线性非齐次方程组 在(3 在(3.5)式A( 即A( 电的每一个元素都为常埶 —=jy+F(x) dx (3.7) 叫做常系数线性非齐次微分方程组 dYAY dY AY (3.8) 叫做常系数线性齐次微分方程组 2.一阶线性微分方程组的通解结构 定理1(一阶线性微分方程组解存在唯一性定理)：如果线性微分方程组 —二A(x)Y+F(x) 仗）仗）中的 仗） 仗） 及F 在区间I= 上连续，则对于 上任一点 以及任意给定的丫 ,方程组 ,方程组 0 —=A(x)Y+F(x)dx 的满足初始条件的解在 上存在且唯一。 i）向量函数线性相关性及其判别法则 定义：设 朋厂〃） 是m个定义在区间 I上的n维向量函数。如果存在m个不全为零的常数 cC…C 使得 ①（切關（Q++C上何“ 恒成立，则称这m个向量函数在区间I上线性相关；否则它们在区间I上线性无关。 判别法则：①定义法 ②朗斯基（Wronski）行列式判别法: 对于列向量组成的行列式 乃?）…儿0）J7（x）=:； 儿I何…几（力 通常把它称为n个n维向量函数组 购必（如认⑸ 的朗斯基（Wronski）行列式。 定理1如果n个n维向量函数组 在区间I线性相关，贝M们的朗斯基（Wronski）行列式 盼） 在I上恒等于零。 逆定理未必成立。 如: 朗斯基行列式 時） 在I上恒等于零，但它们却是线性无关。 定理2如果n个n维向量函数组 的朗斯基（Wronski）行列式 陀） 在区间I上某一点 处不等于零，即 则向量函数组 在区间I线性无关。 判别：一阶线性齐次微分方程组 判别：一阶线性齐次微分方程组 逆定理未必成立。同前例 但如果是一阶线性齐次微分方程组 务=3 的解，则上述两定理及其逆定理均成立。即 定理3一阶线性齐次微分方程组 的解 购必（如必（工） 是线性无关的充要条件是它们的朗斯基（Wronski）行列式 陀） 在区间I上任一点处不等于零；解 片⑴与⑴厂匕（工） 是线性相关的充要条件是它们的朗斯基（Wronski）行列式 陀） 在区间I上任一点处恒等于零 2）.基本解组及其有关结论 定义：一阶线性齐次微分方程组 dx 的n个线性无关解称为它的基本解组 的解 购必（如匕⑸ 是一个基本解组的充要条件是它们的朗斯基（Wronski）行列式 W（x） 在区间I上任一点 处不等于零。 结论：①一阶线性齐次微分方程组 必存在基本解组。 ②基本解组有无穷多个 3）—阶线性齐次微分方程组 通解的结构 定理：如果 狗恥），…询 是线性齐次微分方程组 的基本解组，则其线性组合Y （工）二 C占⑴+C拓⑴+7C兀⑴ 是线性齐次微分方程组 dx 的通解 结论： 线性齐次微分方程组 的解的全体构成一n维线性空间 4）解与系数的关系，即刘维尔公式 的通解等于对应的齐次微分方程组 的通解等于对应的齐次微分方程组 定理：如果 是线性齐次微分方程组 的解，则这n个解的朗斯基行列式与线性齐次微分方程组 dYdx A(x)Y 的系数