等价无穷小公式大全.pdfVIP

当 x 0 时, sinx~x tanx~x arcsinx~x arctanx~x 1-cosx~(1/2)* （x^2 ）~secx-1 （a^x ）-1~x*lna ( （a^x-1)/x~lna) （e^x ）-1~x ln(1+x)~x (1+Bx)^a-1~aBx [(1+x)^1/n]-1~ （1/n ）*x loga(1+x)~x/lna （1+x)^a-1~ax(a≠0) 值得注意的是,等价无穷小一般只能在乘除中替换, 在加减中替换有时会出错（加减时可以整体代换,不能单独代换或分 别代换） 等价无穷小的定义：设当 时， 和 均为无穷小量。 若 ，则称 和 是等价无穷小量，记作 。 例如 ：由于 ，故有 。 等价无穷小替换是计算未定型极限的常用方法，它可以使求极 限问题化繁为简，化难为易。 求极限时，使用等价无穷小的条件 1. 被代换的量，在取极限的时候极限值为 0 ； 2. 被代换的量，作为被乘或者被除的元素时可以用等价无穷小代换， 但是作为加减的元素时就不可以。 定理 无穷小等价替换定理 设函数 ， ， ，在 内有定义，且有 (1)若 ，则 ； (2)若 ，则 。 证明 ： (1) 。 (2) 。 例如 ：利用等价无穷小量代换求极限 解 ：由于 ， 而 ， ， ， 故有 。 注意 ：等价无穷小一般只能在乘除中替换，在加减中替换有时 会出错（加减时可以整体代换，不一定能随意 单独代换或分别代 换）。如在上例中： 若因有 ， ，而推出 ,则得到的是 错误的结果。 注：可直接等价替换的类型 （以上几个性质可以用来化简一些未定式以方便运用洛必达法 则） 需要满足一定条件才能替换的类型 若 ，则 （该条性质非常重要，这是判断在加减法中能否分别等价替换 的重要依据） 变上限积分函数（积分变限函数）也可以用等价无穷小进行替 换。 公式 编辑 常见等价无穷小当 时， 注：以上各式可通过泰勒展开式推导出来。 极限 数学分析的基础概念。它指的是变量在一定的变化过程中，从 总的来说逐渐稳定的这样一种变化趋势以及所趋向的数值 (极限值)。 极限方法是数学分析用以研究函数的基本方法，分析的各种基本概 念(连续、微分、积分和级数)都是建立在极限概念的基础之上，然 后才有分析的全部理论、计算和应用.所以极限概念的精确定义是十 分必要的，它是涉及分析的理论和计算是否可靠的根本问题。历史 上是柯西(Cauchy，A.-L.)首先较为明确地给出了极限的一般定义。 他说，“当为同一个变量所有的一系列值无限趋近于某个定值，并 且最终与它的差要多小就有多小”(《分析教程》，1821)，这个定 值就称为这个变量的极限.其后，外尔斯特拉斯(Weierstrass， K.(T.W.))按照这个思想给出严格定量的极限定义，这就是现在