垂径定理的教学设计.docVIP

《垂直于弦的直径》教学设计 【教学目标】 1. 知识与技能：理解圆的轴对称性，掌握垂径定理及其证明，并会用它解决有关的证明与计算问题，掌握辅助线的作法——作弦心距。 2．过程与方法：①通过定理探究，培养学生观察、分析、逻辑思维和归纳概括能力； ②向学生渗透“由特殊到一般”的基本思想方法。 3．情感态度与价值观：①通过探究垂径定理的活动，激发学生探究、发现数学问题的兴趣，培养学生大胆猜想、乐于探究的良好品质。 【教学重点】垂径定理及其应用。 【教学难点】垂径定理的语言表述。 【教学方法】探究发现法和直观演示法 【教学资源与工具设计】1.每位学生准备几张圆形纸片和作图工具； 2.教师准备一张圆形纸片和自制的多媒体课件； 3．上课环境为多媒体大屏幕环境。 二、教学过程： （一）创设情境 引入新课 1．利用多媒体演示赵州桥图片 同学们，这座桥是我国隋代工匠李春建造的赵州桥（如图）。因它位于现在的历史文化名城河北省赵县（古称赵州）而得名，是世界上现存最早、保存最好的巨大石拱桥，距今已有1400多年历史，被誉为“华北四宝之一”，它的结构是当时世界桥梁界的首创，这充分显示了我国古代劳动人民的创造智慧。 ⌒2．导入：赵州桥的桥拱呈圆弧形的（如图1），它的跨度（弧所对的弦长）为37.4米，拱高（弧的中点到弦AB的距离，也叫弓形高）为7.2米。请问：桥拱的半径（即 AB所在圆的半径）是多少？ ⌒ 通过本节课的学习，我们将能很容易解决这一问题。 （二）合作交流，动手实践，发现新知 ⒈同学们能不能找到下面这个圆的圆心？动手试一试，有方 法的同学请举手。 ⒉问题：①在找圆心的过程中，把圆纸片折叠时，两个半圆 _______ ②刚才的实验说明圆是____________，对称轴是经过圆心的每 一条_________。 3.板书 圆的轴对称性：圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线（或直径所在的直线）都是它的对称轴。 （三）动手实践，探索垂径定理 1.画一画 E在圆中作图：(1)任意作一条弦 AB；(2)作直径CD，使CD⊥AB，垂足为E。说明CD是垂于弦的直径。（板书课题：垂直于弦的直径） E 2.问题 （1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ （2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？ 3.实验 观察 猜想 让学生折叠圆形纸片得出结论，分小组讨论，找出图中相等的量。 教师在学生充分观察对折后的图片的几何性质后，将学生分析得到的几何等量关系在黑板上板书，为数学符号语言翻译定理奠定基础。 4.归纳定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 垂径定理的几何语言叙述: 5.议一议 如果把定理中的CD⊥AB换为AE=BE(用多媒体课件展示)时，那么CD⊥AB吗？吗？分小组讨论，得出结论，让学生证明后，试着用语言叙述，用多媒体展示出。 平分弦（ ）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 把右图展示给学生，弦AB和CD互相平分，但CD⊥AB吗？ 填出上面的空（非直径） 推论的符号语言： ∵CD为直径，AE=BE（AB非直径） ∴CD⊥AB 6.定理的巩固 找一找 在下列哪个图中有 E E （四）例题示范，变式练习 【例1】如图4，在⊙O中，若弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径。 分析：因为已知“圆心O到AB的距离为3cm”， 所以要作辅助线OE⊥AB；因为要求半径，所以还要连结OA。 解：（略）引导学生归纳：此类问题可以归结为直角三角形求解。“过圆心作弦的垂线段”，构成三边为“半径半弦弦心距”（略释弦心距的含义）的直角三角形的“七字口诀”，然后结合勾股定理得出三边的数量关系： 【例2】． （五）应用迁移 巩固提高 如图是一条排水管的截面。已知排水管的半径10cm， 水面宽AB=12cm。求水的最大深度. （六）总结反思 拓展升华 1.本节学习的数学知识是圆的轴对称性和垂径定理及其推论。 注意：（1）定理的几种基本图形。 （2）计算中三个量的关系。 (3)证明中常用的辅助线——作弦心距。 2.本节学习的数学方法是数形结合和转化思想。 （七）作业 89页第2题，90页第8，10，12题 （八）板书设计 垂直于弦的直径 （定理的证明）例 （定理的证明） 例1 例２ 1.圆的轴对称性 2.垂径定理 3.垂径定理的表达形式 ４.辅助线的作法