连续体的振动.pptx

连续体的振动弦的横向振动第2页/共28页根据达朗贝尔原理:????将方程整理得：??第3页/共28页弦的横向振动的固有频率和主振型固有频率和主振型从前面的章节中，我们知道振动系统的固有频率和主振型可以通过研究其自由振动来获得。弦的自由振动有一个性质：弦上的各点做同步运动可以用数学中的分离变量法：将弦振动函数y(x,t)分解为空间函数Y(x)和时间函数F(t)的乘积??弦的横向振动的固有频率和主振型第4页/共28页??整理则有：?（4-4）?（4-5）关于方程(4-4)二阶常微分方程，解为：（4-6）?弦的横向振动的固有频率和主振型第5页/共28页 式中，A、B由两个初始条件决定。?（4-7）? 式中，C、D由两个初始条件决定。 对于两端固定的弦，边界条件是：{{?? 或（4-8）弦的横向振动的固有频率和主振型第6页/共28页运动的初始条件为：{?（4-9）有了这四个约束条件，就能求解系统的偏微分方程了。将(4-8)代入式(4-7)中，得到：?（4-10）这就是两端固定弦的特征方程，由此可得到一系列的特征值：??弦的横向振动的固有频率和主振型第7页/共28页??（4-12）????一一对应???弦的横向振动的固有频率和主振型第8页/共28页由于D=0，振型是各点振幅的比值，比例因子C不影响该比值，所以：（4-13）??将(4-13)和(4-6)代入y(x,t)=Y(x)F(t)中，即得到弦的主振动?由于弦各阶主振动的叠加即为自由振动定解，所以：??弦振动性结论第9页/共28页 弦振动性结论1.两端固定弦的自由振动，除了基频之外，还可以包含频率为基频整数倍的振动，这种倍频振动称为谐波振动。在音乐上，正是这种频率之间的整数倍关系模式的谐波与基波组成了各种悦耳的谐音结构。2.与离散系统相似，弦在任意初始条件下的自由振动可以由固有振型的叠加构成。3.阶数越高，节点数越越多。第i阶振型中节点个数为i-1。杆的纵向振动第10页/共28页以等截面细直杆的纵向振动为例?假设振动过程中各截面仍保持为平面忽略有纵向振动引起的横向变形?杆的纵向振动第11页/共28页微段分析u(x,t)为杆上距原点x处截面在时刻t的纵向位移??(4-36)由达朗贝尔原理列出方程式为：杆的纵向振动第12页/共28页?(4-37)将（3-35）代入（4-37）得：?（杆的纵向强迫振动方程）对于等直杆ES为常数，自由振动时p(x,t)=0，所以：??杆的固有频率和主振型第13页/共28页 由于杆的振动方程和弦横向振动方程类似，也是运用分离变量法 u(x,t)=U(x)F(t) 式中 U(x)为空间函数，F(t)为时间函数 将上式代入（4-37）得： 设为??得到：?杆的纵向振动第14页/共28页这两个微分方程的解分别为：???轴的扭转振动第15页/共28页轴的扭转振动细长圆截面等直杆在分布扭矩作用下作扭转振动??假设振动过程中各截面仍保持为平面?轴的扭转振动第16页/共28页取微段，截面处的扭矩为T,则：?由达朗贝尔原理列出方程为：?整理得：???(圆截面杆的强迫振动方程)轴的扭转振动第17页/共28页???总结?弦的横向振动?杆的纵向振动?轴的扭转振动虽然它们在运动形式上表现不同，但运动微分方程是类似的，都是一维波动方程轴的扭转振动第18页/共28页所以根据弦横向振动微分方程的解可直接写出：??梁的横向振动第19页/共28页梁的横向自由振动一根棱柱形梁在x-y平面内所做的横向自由振动?梁的横向振动第20页/共28页取微段?由达朗贝尔原理列出方程式：?梁的横向振动第21页/共28页化简得：?(4-56)对x+dx截面任一点取矩，做力矩平衡方程得：?化简得：??梁的横向振动第22页/共28页?(4-57)??(4-58)将(4-58)代入（4-56）得：?梁的横向振动第23页/共28页??上式即为等截面横梁自由振动的运动方程，它是一个四阶齐次偏微分方程薄膜的横向振动第24页/共28页横向振动方程如下图所示，在xy平面内边界曲线为S=S(x,y)的薄膜。 令f(x,y,t)表示沿z方向作用的力 T表示在某点处张力的密度，为常量薄膜的横向振动第25页/共28页?????若薄膜均匀，载荷处处相等，则上式化简即获得薄膜横向强迫振动的微分方程：薄膜的横向振动第26页/共28页?如果外力f(x,y,t)=0,则可以由上式得自由振动方程：?????(经典的二维波动方程)第27页/共28页第28页/共28页感谢您的观看！