概率统计难题选解(一).docx

PAGE PAGE 1 概率统计难题选解（一） 在圆周上任取两点，连接起来得一弦，再任取两点，连接起来又得一弦。求这两弦相交的概率。 解 设圆周长为 1，设圆周上一点坐标位置为 0 ，逆时针绕圆一周后坐标位置为 1。 不妨设第一条弦的一个端点位置为0 ，另一个端点位置为 X ，第二条弦的两个端点位置为Y 和 Z 。 X ， Y 和 Z 可以看作是 3 个相互独立的服从[0 ,1] 上均匀分布的随机变量。当且仅当0 ? Y ? X ? Z ? 1或0 ? Z ? X ? Y ? 1时，两弦相交。 所以，两弦相交的概率为 p ? P{0 ? Y ? X ? Z ? 1} ? P{0 ? Z ? X ? Y ? 1} ? ?1 ?? ?x dy ???? ?1 dz ??dx ? ?1 ?? ?x dz ???? ?1 dy ??dx 0 ? 0 ?? x ? 0 ? 0 ?? x ? ? ?1 x(1 ? x)dx ? ?1 x(1 ? x)dx ? 2? 1 (x ? x 2 )dx ? 1 。 0 0 0 3 从一副扑克牌中（有返回地）一张张抽取牌，直至抽出的牌包含了全部四种花色为止。求这时正好抽了n 张牌的概率。 解 设 4 种花色为A、B、C、D。 P{ 抽n P{ n  次只抽到A ? 1 ?n } ?? ? } ? ? 4 ? } ? ? 2 ?n 抽 次最多只抽到A、Ｂ ? ? 。 ? 4 ? P{ 抽n 次抽到且只抽到A、Ｂ} ? P{ 抽n 次最多只抽到A、Ｂ} ? P{抽n 次只抽到A} ? P{抽n 次只抽到Ｂ} ?? 2 ?n ? ? 4 ? ? 1 ?n ?? 4 ? ? ? 1 ?n ?? 4 ? ? ? 2 ?n ?? 4 ? ? ? 1 ?n ? 2? 4 ? ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? P{ 抽n  次最多只抽到A、Ｂ、Ｃ ? 3 ?n } ?? ? } ? ? 4 ? P{ 抽n 次抽到且只抽到A、Ｂ、Ｃ} ? P{ 抽n 次最多只抽到A、Ｂ、Ｃ} ? P{抽n 次抽到且只抽到A、Ｂ} P{ 抽n 次抽到且只抽到A、Ｃ} ? P{ 抽n 次抽到且只抽到Ｂ、Ｃ} P{ 抽n 次只抽到A} ? P{抽n 次只抽到Ｂ} ? P{抽n 次只抽到Ｃ} ? ? 3 ?n ? 3?? 2 ?n ? 2? 1 ?n ? ? 3? 1 ?n ? ? 3 ?n ? 3? 2 ?n ? 3? 1 ?n ? 4 ? ?? 4 ? ? 4 ? ? ? 4 ? ? 4 ? ? 4 ? ? 4 ? 。 ? ? ??? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? P{ 前 n ?1 次抽到且只抽到A、Ｂ、Ｃ，第n 次抽到Ｄ} ? ?? 3 ?n?1 ? 3? 2 ?n?1 ? 3? 1 ?n?1 ? ? 1 ?? 4 ? ? 4 ? ? 4 ? ? 4 。 ??? ? ? ? ? ? ?? P{ 第n 次抽，首次抽到４种花式} ? P{ 前n ?1 次抽到且只抽到Ｂ、Ｃ、Ｄ，第n 次抽到Ａ} P{ 前n ?1 次抽到且只抽到A、Ｃ、Ｄ，第n 次抽到Ｂ} P{ 前n ?1 次抽到且只抽到A、Ｂ、Ｄ，第n 次抽到Ｃ} P{ 前n ?1 次抽到且只抽到A、Ｂ、Ｃ，第n 次抽到Ｄ} ? 4?? 1 ?n?1 ? 3? 2 ?n?1 ? 3? 1 ?n?1 ? ? 1 ?? 4 ? ? 4 ? ? 4 ? ? 4 ??? ? ? ? ? ? ?? ? 4 ?? ? 3 ? ? 4 ? ? ? ? 3? 2 ?n?1 ? 4 ? ? 4 ? ? 3? 1 ?n?1 ? 4 ? ? 4 ? 3n?1 ? 3 ? 2n?1 ? 3 ?。 ? 4n?1 ３. r 个人相互传球，从甲开始。每次传球时，传球着可能把球传给其余r ?1个人中的任何一个。求： （１）传了n 次球，球仍没有回到甲手里的概率。 （２）传了n 次（ n ? r ?1 ），没有一个人接到过两次球的概率。 （３）第n 次传球时仍由甲传出的概率。 解 （１）第１次从甲传出后，又传了n ?1次，每次都没有传给甲，即传给其余r ?1人中除了甲以外的r ? 2 人中的任何一人，这样的概率为 r ? 2 ， n ?1 次后的概率为 r ? 1 ? r ? 2 ?n?1 ? r ? 1 ? 。 ? ? （２）第１次，甲传给其余r ?1人中任何一人，概率为 r ?1 ； r ?1 第２次，传给其余r ?1人中除了甲以外的r ? 2 人中任何一人，概率为 r ? 2 ； r ? 1 第３次，传给其余r ?1人中除了已经接到球的人以外的r ? 3 人中任何一人，概率为 r ? 3 ； r ? 1 …… 第n