概率论与数理统计知识点总结.docx

1 1 第 1 章 随机事件及其概率 ）随 如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果机试验 不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果， 则和随机 称这种试验为随机试验。 事件 试验的可能结果称为随机事件。 在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事 件，它具有如下性质： ①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件； ）基 ②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。 本 事 这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用 来表示。件、 样 基本事件的全体，称为试验的样本空间，用 表示。 本空间 一个事件就是由 中的部分点（基本事件 ）组成的集合。通常用大和事件 写字母A ，B ，C ，…表示事件，它们是 的子集。 为必然事件， 为不可能事件。 不可能事件（ ）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（Ω）的概率为 1 ，而概率为 1 的事件也不一定是必然事件。 ①关系： ）事 如果事件A 的组成部分也是事件B 的组成部分（，A 发生必有事件B 件的关 发生）： A B 系与运 如果同时有 A B ， B A ，则称事件A 与事件 B 等价，或称 A 等于算 B ：A=B 。 A 、B 中至少有一个发生的事件：A B ，或者A + B 。 属于 A 而不属于 B 的部分所构成的事件，称为 A 与B 的差，记为A-B ，也可表示为 A-AB 或者 A B ，它表示 A 发生而 B 不发生的事件。A 、B 同时发生：A B ，或者AB 。A B= ，则表示A 与B 不可能 同时发生，称事件A 与事件B 互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。 -A 称为事件 A 的逆事件，或称A 的对立事件，记为 A 。它表示A 不发生的事件。互斥未必对立。 ②运算： 结合率：A(BC)=(AB)C A ∪(B∪C)=(A ∪B)∪C 分配率：(AB) ∪C=(A ∪C)∩(B∪C) (A ∪B)∩C=(AC) ∪(BC) ） 概率的公 德摩根率： Ai Ai ， A B A Bi 1 i 1 A B A B 设 为样本空间， A 为事件，对每一个事件 A 都有一个实数 P(A) ， 若满足下列三个条件： 1 °0 ≤P(A) ≤1 ， 2 °P(Ω) =1 理化定 3 °对于两两互不相容的事件 A ， A ，…有 1 2 i义 P A i  )iP (A ) i 则称P(A) 为事件 A 的概率。 i 1 i 1 1 ° , ， 1 2 n ）古 2 °P ( ) P ( 1 ) P ( 2 ) 1 。 n n 设任一事件 A ，它是由 , 1 2 m 组成的，则有 典概型 P(A)= ( ) ( 1 ) ( ) = P ( 2 m ) P ( 1 ) P ( ) 2 m A所包含的基本事件数 基本事件总数 几何概型 若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀， 同时样本空间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述， 则称此随机试验为几何概型。对任一事件 A， P( A) ? L( A) 。其中 L(?) L 为几何度量（长度、面积、体积）。 加法公式 减法公式 P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) 当 AB 不相容 P(AB)＝0 时，P(A+B)=P(A)+P(B) 当 AB 独立，P(AB)=P(A)P(B), P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B) P(A-B)=P(A)-P(AB) 当B ? A 时，P(A-B)=P(A)-P(B) 当 A=Ω时，P( B )=1- P(B) 定义 设A、B 是两个事件，且 P(A)0，则称 P( AB) 为事件 P( A) A 发生 条 条件下，事件 B 发生的条件概率，记为P(B / A) ? P( AB) 。 P( A) 件概率 条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。 例如 P(Ω/B)=1 ? P( B /A)=1-P(B/A) 1…A2n1A2…乘法公式： P( AB) ? P( A)P(B / A) 1 …A 2 n 1 A 2 … 11乘法公 1 1 更一般地，对事件 A ，A ，…A ，若 P(A n-1 )0，则有 (P A A ( 式 1 2 An) ? P( A )P( A2 | A )P( A A A …… P A |3) (n | 3 ) ( n A A … A |1 2 |  n ? 1 ①两个事件的独立性 ) 。设事件 A 、B 满足P( AB) ? P( A)P(B) ，则称事件A 、B 是相互独立的。若事件 A 、B 相互独立，且P( A) ? 0 ) 。 独立性 P(