高等代数知识点总结.pptVIP

现在一页，总共三十九页。 基本概念： 次数：最基本的概念和工具 整除：多项式之间最基本的关系 带余除法：最基本的算法，判断整除. 最大公因式：描述多项式之间关系的复杂程度 互素：多项式之间关系最简单的情形 既约多项式：最基本的多项式 根：最重要的概念和工具 一元多项式 现在二页，总共三十九页。 重要结论： 带余除法定理 对于任意多项式f(x)和非零多项式g(x)，有唯一的q(x)和r(x)使得 f(x)=g(x)q(x)+r(x)，r(x)=0或degr(x)degg(x). 最大公因式的存在和表示定理 任意两个不全为0的多项式都有最大公因式，且对于任意的最大公因式d(x)都有u(x)和v(x)使得 d(x)=f(x)u(x)+g(x)v(x) 互素 f(x)和g(x)互素?有u(x)和v(x)使得 f(x)u(x)+g(x)v(x)=1. 现在三页，总共三十九页。 因式分解唯一定理 次数大于1的多项式都可分解成有限个既约多项式之积，且不计因子次序和常数因子倍时，分解唯一. 标准分解定理 每个次数大于1的多项式f都有如下的标准分解 其中a是非零常数, p1,…,pt, 是互不相同的首一既约多项式, n1,…,nt是正整数. 进一步,a, p1,…,pt,n1,…,nt由f唯一确定. 重因式 f无重因式当且仅当f与其导式互素. 现在四页，总共三十九页。 代数学基本定理： 下列陈述等价， 复数域上次数≥1的多项式总有根 复数域上的n次多项式恰有n个根 复数域上的既约多项式恰为一次式 复数域上次数≥1的多项式可分解成一次式之积. 实数域上的次数＞1的既约多项式只有无实根的二次式 实数域上次数≥1的多项式可分解成一次式和二次式之积 现在五页，总共三十九页。 实数域上的标准分解定理 在实数域上，每个次数大于1的多项式f都有如下的标准分解 其中a是f的常数项, x1,…,xt 是f全不互不相同的根, p1,…,pt是互异、首一、无实根的二次式. 复数域上的标准分解定理 在复数域上，每个次数大于1的多项式f都有如下的标准分解 其中a是f的常数项, x1,…,xt 是f全部互不相同的根, n1,…,nt分别是这些根的重数. 现在六页，总共三十九页。 多项式作为函数： 两个多项式相等(即对应系数相同) ?它们作为函数相等(即在每点的函数值相等) ?它们在k+1个点的函数值相等，这里k是它们次数的最大者. 设f(x)＝anxn+...+a1x+a0，若f(x)在n+1个点的函数值为0，则f(x)恒等于0. 现在七页，总共三十九页。 Eisenstein判别法： 设 是整系数多项式，若有素数p使得 则f(x)是有理数域上的既约多项式. 有理根：有理根的分母整除首项系数，分子整除常数项 现在八页，总共三十九页。 重要结论 命题1.8.1 若多项式的值全为0，则该多项式必为0. 命题1.8.2 每个n次多项式f均可唯一地表示成齐次多项式之和 ，fn≠0，且其中fi是0或i次齐次多项式，0≤i≤n，fi称为f的i次齐次分量. 基本概念： 次数、齐次分量、字典序、首项、对称多项式 多元多项式 对称多项式基本定理 每个对称多项式，都可唯一地表示成初等对称多项式的多项式 . 现在九页，总共三十九页。 现在十页，总共三十九页。 运算及其关系 转置 取逆 伴随 行列式 秩数 加 法 (A+B)T=AT+BT r(A+B)≤r(A)+r(B) 数 乘 (kA)T= k AT (kA)?1= k?1A?1 (kA)*= kn?1A* |kA|=kn|A| r(kA)=r(A) (k≠0) 乘 法 (AB)T= BT AT (AB) ?1= B?1 A?1 (AB)*= B*A* |AB|=|A||B| r(A)+r(B)-n≤ r(AB)≤r(A), r(B) 转 置 (AT)T=A (AT) ?1=(A?1)T (AT)*=(A*)T |AT|=|A| r(AT)=r(A) 取 逆 (A?1) ?1=A (A?1)*＝(A*)?1 |A?1|=|A|?1 伴 随 (A*)*=|A|n?2A* |A*|=|A|n?1 n, 若r(A)=n r(A*)= 1, 若r(A)=n-1 0, 若r(A)n-1 其 它 A-1=|A|-1A* AA*=A*A=|A|E 当A可逆时， A*＝|A|A?1 定义 性质 若P,Q可逆，则 r(A)=r(PA)=r(AQ) =r(PAQ) 现在十一页，总共三十九页。 转置