四点共圆例题与答案.pdf

.word格式. 例1 如图 ，E、F、G、H分别是菱形ABCD各边的中点 ．求证 ：E、F、G、H四 点共圆 ． 证明 菱形ABCD 的对角线AC和BD相交于点O ，连接OE、OF、OG、 OH ． ∵AC和BD 互相垂直 ， ∴在Rt△AOB、Rt△BOC、Rt△COD、Rt△DOA中，E、F、G、H，分别是 AB、BC、CD、DA的中点， 即E、F、G、H四点共圆． (2)若四边形的两个对角互补(或一个外角等于它的内对角) ，则四点共圆 ． 例2 如图 ，在△ABC 中，AD⊥BC，DE⊥AB ，DF⊥AC ． 求证 ：B、E、F、C四点共圆． . 专业资料. 学习参考 . .word格式. 证明 ∵DE⊥AB ，DF⊥AC ， ∴∠AED＋∠AFD=180°， 即A、E、D、F四点共圆， ∠AEF=∠ADF ． 又∵AD⊥BC，∠ADF＋∠CDF=90°， ∠CDF＋∠FCD=90°， ∠ADF=∠FCD ． ∴∠AEF=∠FCD， ∠BEF＋∠FCB=180°， 即B、E、F、C四点共圆． (3)若两个三角形有一条公共边 ，这条边所对的角相等 ，并且在公共边的同 侧 ，那么这两个三角形有公共的外接圆 ． . 专业资料. 学习参考 . .word格式. 证明 在△ABC 中，BD、CE AC、AB边上的高 ． ∴∠BEC=∠BDC=90°，且E、D在BC的同侧， ∴E、B、C、D四点共圆． ∠AED=∠ACB ，∠A=∠A ， ∴△AED∽△ACB ． 上述三种方法是证“四点共圆”的基本方法，至于证第四点在前三点(不在同 一直线上)所确定的圆上就不叙述了 ． . 专业资料. 学习参考 . .word格式. 【例1】 在圆内接四边形ABCD 中，∠A-∠C=12°，且∠A ∠∶B=23∶．求∠A、∠B、 ∠C、∠D的度数． 解 ∵四边形ABCD 内接于圆， ∴∠A+∠C=180°． ∵∠A-∠C=12°， ∴∠A=96°，∠C=84°． ∵∠A ∠∶B=23∶， ∠D=180°-144°=36°． 利用圆内接四边形对角互补可以解决圆中有关角的计算问题 ． 【例2】已知：如图1所示 ，四边形ABCD 内接于圆，CE∥BD交AB 的延长 线于E ．求证 ：AD·BE=BC·DC ． 证明 ：连结AC ． ∵CE∥BD， . 专业资料. 学习参考 . .word格式. ∴∠1=∠E ． ∵∠1和∠2都是 所对的圆周角 ， ∴∠1=∠2 ． ∠1=∠E ． ∵四边形ABCD 内接于圆， ∴∠EBC=∠CDA ． ∴△ADC∽△CBE ． AD ∶BC=DC∶BE ． AD·BE=BC· DC ． 本例利用圆内接四边形的一个外角等于内对角及平行线的同位角、圆中同 弧所对的圆周角得到两个相似三角形的条件 ，进而得到结论 ． 关于圆内接四边形的性质 ，还有一个重要定理