概率论与数理统计习题答案详解版(廖茂新复旦版).docx

第 第 PAGE 10 页 共 41 页 概率论与数理统计习题答案详解版(廖茂新复旦版) 习 题 一 设 A，B，C 为三个事件，用 A，B，C 的运算式表示下列事件： A 发生而 B 与 C 都不发生； A，B，C 至少有一个事件发生； A，B，C 至少有两个事件发生； A，B，C 恰好有两个事件发生； A，B 至少有一个发生而C 不发生； A，B，C 都不发生. 解：（1）A BC 或 A?B?C 或 A?（B∪C）. （2）A∪B∪C. （3）（AB）∪（AC）∪（BC）. （4）（AB C ）∪（AC B ）∪（BC A ）. （5）（A∪B） C . （6） A ? B ? C 或 ABC . 对于任意事件 A，B，C，证明下列关系式： （1）(A+B) (A+ B )( A + B)( A + B )= ?； （2）AB+ A B +A B + A B ? AB = AB； （3）A-(B+C)= (A-B)-C. 证明：略. 3.设 A，B 为两事件，P（A）=0.5,P(B)=0.3,P(AB)=0.1，求： A 发生但 B 不发生的概率； A，B 都不发生的概率； 至少有一个事件不发生的概率. 解（1） P（A B ）=P（A-B）=P（A-AB）=P（A）-P（AB）=0.4； (2) P( AB )=P( A B )=1-P(A∪B)=1-0.7=0.3； (3) P( A ∪ B ）=P( AB ）=1-P(AB)=1-0.1=0.9. 调查某单位得知。购买空调的占 15％，购买电脑占 12％，购买 DVD 的占 20%；其中购买空调与电脑占 6%，购买空调与DVD 占 10%，购买电脑和DVD 占 5％，三种电器都购买占 2％。求下列事件的概率。 至少购买一种电器的； 至多购买一种电器的； 三种电器都没购买的. 解：（1） 0.28, （2）0.83, （3） 0.72 5.10 把钥匙中有 3 把能打开门，今任意取两把，求能打开门的概率。解：8/15 任意将 10 本书放在书架上。其中有两套书，一套 3 本，另一套 4 本。求下列事件的概率。 （1）3 本一套放在一起； 两套各自放在一起； 两套中至少有一套放在一起. 解： （1）1/15， （2）1/210， （3）2/21 12 名新生中有 3 名优秀生，将他们随机地平均分配到三个班中去， 试求： 每班各分配到一名优秀生的概率； 3 名优秀生分配到同一个班的概率. 解 12 名新生平均分配到三个班的可能分法总数为 C4 C4C4 ? 12 8 4 12! (4!)3 设 A 表示“每班各分配到一名优秀生” 3 名优秀生每一个班分配一名共有 3！种分法，而其他 9 名学 生平均分配到 3 个班共有 9! 种分法，由乘法原理，A 包含基本事件 (3!)3 数为 3！·  9! = 9! (3!)3 (3!)2 故有 P（A）= 9! (3!)2  / 12! (4!)3  =16/55 设 B 表示“3 名优秀生分到同一班”，故 3 名优秀生分到 同一班共有 3 种分法，其他 9 名学生分法总数为C1 C4C4 ? 9! ，故由 乘法原理，B 包含样本总数为 3· 9! . 1!4!4! 故有 P（B）= 3·9! /  12! 9 8 4 =3/55 1!4!4! ?4！?2 ?4！?3 箱中装有 a 只白球，b 只黑球，现作不放回抽取，每次一只. （1） 任取 m+n 只，恰有 m 只白球，n 只黑球的概率（m≤a,n≤ b）; (2) 第 k 次才取到白球的概率（k≤b+1）; 第k 次恰取到白球的概率. 解 （1）可看作一次取出m+n 只球，与次序无关，是组合问题. 从 a+b 只球中任取 m+n 只，所有可能的取法共有Cm ? n 种，每一种取 a ? b 法为一基本事件且由于对称性知每个基本事件发生的可能性相同 .从 a 只白球中取 m 只，共有Cm 种不同的取法，从 b 只黑球中取 n 只， a 共有Cn 种不同的取法.由乘法原理知，取到 m 只白球，n 只黑球的取 b 法共有Cm Cn 种，于是所求概率为 a b p = CmCn . 1 a b Cm? n a ?b 抽取与次序有关.每次取一只，取后不放回，一共取k 次，每种取法即是从 a+b 个不同元素中任取 k 个不同元素的一个排列，每种 取法是一个基本事件，共有Pk a ? b 个基本事件，且由于对称性知每个基 本事件发生的可能性相同.前 k-1 次都取到黑球，从 b 只黑球中任取 k-1 只的排法种数，有Pk ?1 种，第 k 次抽取的白球可为 a 只白球中任一 b 只，有P1 种不同的取法.由乘法原理，前k-1 次都取到黑球，第k 次取 a 到白球