第七章　水文频率计算.ppt

例:设（X1,X2 , … , Xn )为X的样本，E(X)=a，D(X)=σ2， 试问下列统计量是否分别是a , σ2的无偏估计量？ 解： 有效性 ：设U1,U2都是参数的无偏估计量，若对任一n，D(U1)D(U2)成立，则称估计量U1较U2有效。 作为数学期望的估计量，可以证明， 更有效。 事实上，由于 因此 所以用 估计数学期望比 更有效。 可验证， 可以证明 ，在满足某些条件下 ，对一般的总体F(x;uo)，都存在一个正数De，使得uo的任何无偏估计量U的方差D(U)都不会小于De，这个De称为无偏估计量的方差下界。它的数值与总体概率密度f (x;uo)及样本容量n有关，表达式如下 而不等式 称克拉美－罗不等式。 Ⅲ 例:设X服从P–Ⅲ型分布,且 求 ① ② 解 ① ② Ⅲ Ⅲ (三) P-Ⅲ型分布参数估计的适线法 下面用一个例子说明适线法估计P-Ⅲ型分布参数的具体步骤。 例：下表为某水文站年平均流量资料，假定总体服从P-Ⅲ型分布，试用适线法估计参数E(X),CV,CS。 年份 流量 年份 流量 年份 流量 年份 流量 1956 1676.0 1964 614.0 1972 343.0 1989 1029.0 1957 601.0 1965 490.0 1973 413.0 1990 1463.0 1958 562.0 1966 990.0 1974 493.0 1991 540.0 1959 697.0 1967 597.0 1975 372.0 1992 1077.0 1960 407.0 1968 214.0 1976 214.0 1993 571.0 1961 2259.0 1969 196.0 1977 1117.0 1994 2019.0 1962 402.0 1970 929.0 1987 761.0 2019 1840.0 1963 777.0 1971 1828.0 1988 980.0 表 1： 序号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ 1 2259 2.6480 1.6480 2.7159 4.4758 3.125 2 2019 2.3385 1.3385 1.7916 2.3980 6.250 3 1840 2.1568 1.1568 1.3382 1.5480 9.375 4 1828 2.1428 1.1428 1.3060 1.4925 12.500 29 214 0.2508 -0.7492 0.5613 -0.4205 90.625 30 214 0.2508 -0.7492 0.5613 -0.4205 93.750 31 196 0.2298 -0.7702 0.5932 -0.4569 96.875 26447 31.0011 0.0011 13.0957 8.9100 表2 统计参数计算表 解：① 将表1中的流量按从大到小顺序列于表2中 第 （2）栏。 ② 计算表2中第（3）至第（7）各栏数值。 ③ 将表2中的经验点据 点在机率格 纸上，如图3中“X ”所示 ④ 参数的初值由矩法公式计算，由表2得 ⑤ 均匀地选择一些P值，根据矩估计的 ， 和 ，计算理论频率曲线，如表3。 表3 P—Ⅲ型分布频率曲线配线计算表 0.1 1 5 10 … 99 第一次配线 4.694 3.093 1.895 1.341 … -1.511 3497.7 2593.4 1919.5 1612.4 … 2.6 第二次配线 5.478 3.542 1.986 1.312 … -1.017 4530.0 3122.3 2124.2 1689.1 … 179.2 ⑥ 将表3中的各点 点绘在图2中，并通过这些点描绘光滑曲线（图中虚线所示）。此曲线即为 的P—Ⅲ型分布超过累积频率的理论曲线。 ⑦ 观察上述曲线与实测点据吻合的程度，如吻合满意，则该理论频率曲线相应的参数就是要估计的总体的分布参数。 ⑧ 因为上述理论曲线与实测点据吻合不太好，重新调整CV