七年级下册第24题压轴题平行线的拐角问题.pdf

七年级下册第 24 题压 轴题平行线的拐角问题 -CAL-FENGHAI.Network Information Technology Company.2020YEAR 七下平行线，平面直角坐标系压轴题 二．解答题（共27小题） 14．如图，已知直线AB∥CD，直线EF分别与AB、CD相交于点E、F，FM平分∠EFD，点H是射线 EA上一动点（不与点E重合），过点H的直线交EF于点P，HM平分∠BHP交FM于点M． （1）如图1，试说明：∠HMF= （∠BHP+∠DFP）； 请在下列解答中，填写相应的理由： 解：过点M作MQ∥AB （过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行）． ∵AB∥CD （已知）， ∴MQ∥CD （如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行） ∴∠1=∠3，∠2=∠4 （ ） ∴∠1+∠2=∠3+∠4 （等式的性质） 即∠HMF=∠1+∠2． ∵FM平分∠EFD，HM平分∠BHP （已知） ∵∠1= ∠BHP，∠2= ∠DFP （ ） ∴∠HMF= ∠BHP+ ∠DFP= （∠BHP+∠DFP）（等量代换）． （2）如图2，若HP⊥EF，求∠HMF的度数； （3）如图3，当点P与点F重合时，FN平分∠HFE交AB于点N，过点N作NQ⊥FM于点Q，试 说明无论点H在何处都有∠EHF=2∠FNQ ． 2 14 ．如图，已知直线AB∥CD，直线EF分别与AB、CD相交于点E、F，FM平分∠EFD，点H是 射线EA上一动点（不与点E重合），过点H的直线交EF于点P，HM平分∠BHP交FM于点M ． （1）如图1，试说明：∠HMF= （∠BHP+∠DFP）； 请在下列解答中，填写相应的理由： 解：过点M作MQ∥AB （过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行）． ∵AB∥CD （已知）， ∴MQ∥CD （如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行） ∴∠1=∠3，∠2=∠4 （ 两直线平行，内错角相等 ） ∴∠1+∠2=∠3+∠4 （等式的性质） 即∠HMF=∠1+∠2 ． ∵FM平分∠EFD，HM平分∠BHP （已知） ∵∠1= ∠BHP，∠2= ∠DFP （ 角平分线定义 ） ∴∠HMF= ∠BHP+ ∠DFP= （∠BHP+∠DFP）（等量代换）． （2）如图2，若HP⊥EF，求∠HMF的度数； （3）如图3，当点P与点F重合时，FN平分∠HFE交AB于点N，过点N作NQ⊥FM于点Q，试 说明无论点H在何处都有∠EHF=2∠FNQ ． 【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等，以及角平分线定义进行判断即可； （2）先根据HP⊥EF，AB∥CD，得到∠EHP+∠DFP=90°，再根据（1）中结论即可得到∠HMF的 度数； 3 （3）先根据题意得到∠NFQ=90°﹣∠FNQ，再根据FN平分∠HFE，FM平分∠EFD，即可得出∠ HFD=2∠NFQ，最后根据∠EHF+∠HFD=180°，即可得出∠EHF=2∠FNQ ． 【解答】解：（1）由MQ∥CD，得到∠1=∠3，∠2=∠4，其依据为：两直线平行，内错角相等； 由FM平分∠EFD，HM平分∠BHP，得到∠1= ∠BHP，∠2= ∠DFP，其依据为：角平分线定 义． 故答案为：两直线平行，内错角相等；角平分线定义． （2）如图2，∵HP⊥EF， ∴∠HPE=90°， ∴∠EHP+∠HEP=180°﹣90°=90° （三角形的内角和等于180°） 又∵AB∥CD， ∴∠HEP=∠DFP ． ∴∠EHP+∠DFP=90° ． 由（1）得：∠HMF= （∠EHP+∠DFP）= ×90°=45° ． （3）如图3，∵NQ⊥FM， ∴∠NFQ+∠FNQ=180°﹣90°=90° （三角形的内角和等于180°）． ∴∠NFQ=90°﹣∠FNQ ． ∵FN平分∠HFE，FM平分∠EFD， 又∵∠NFQ=∠NFE+∠QFE= （∠HFE+∠EFD）= ∠HFD， ∴∠HFD=2∠NFQ ． 又∵AB∥CD， ∴∠EHF+∠HFD=180°， ∴∠EHF=180°﹣∠HFD=180°﹣2∠NFQ=180°﹣2 （90°﹣∠FNQ）=2∠FNQ， 4 即无论点H在何处都有∠E