高考数学一轮复习函数模型及其应用.docVIP

第10讲　函数模型及其应用 必威体育精装版考纲 考向预测 1.了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义． 2．了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等普遍使用的函数模型)在社会生活中的广泛应用． 命题趋势 考查根据实际问题建立函数模型解决问题的能力，常与函数图象、单调性、最值及方程、不等式交汇命题，预计高考对本讲考查将延续近几年的考查风格，各种题型均有可能，属中档题. 核心素养 数学建模、数学运算 1．几种常见的函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 指数函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数， a0且a≠1，b≠0) 对数函数模型 f(x)＝blogax＋c (a，b，c为常数，a0且a≠1，b≠0) 幂函数模型 f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠0) 2.三种函数模型性质比较 y＝ax(a1) y＝logax(a1) y＝xn(n0) 在(0，＋∞) 上的单调性 增函数 增函数 增函数 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随x值增大，图象与y轴接近平行 随x值增大，图象与x轴接近平行 随n值变化而不同 常用结论 1．“对勾”函数f(x)＝x＋eq \f(a,x)(a0)的性质 (1)该函数在(－∞，－eq \r(a)]和[eq \r(a)，＋∞)上单调递增，在[－eq \r(a)，0)和(0，eq \r(a) ]上单调递减． (2)当x0时，x＝eq \r(a)时取最小值2eq \r(a)； 当x0时，x＝－eq \r(a)时取最大值－2eq \r(a). 2．“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长速度缓慢． 常见误区 1．解应用题的关键是审题，不仅要明白、理解问题讲的是什么，还要特别注意一些关键的字眼(如“几年后”与“第几年”)，考生常常由于读题不谨慎而漏读和错读，导致题目不会做或函数解析式写错． 2．解应用题建模后一定要注意定义域． 3．解决完数学模型后，注意转化为实际问题写出总结答案． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)幂函数增长比一次函数增长更快．(　　) (2)在(0，＋∞)内，随着x的增大，y＝ax(a1)的增长速度会超过并远远大于y＝xα(α0)的增长速度．(　　) (3)指数型函数模型，一般用于解决变化较快，短时间内变化量较大的实际问题．(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)√ 2．在某个物理实验中，测量得变量x和变量y的几组数据，如表： x 0.50 0.99 2.01 3.98 y －0.99 0.01 0.98 2.00 则对x，y最适合的拟合函数是(　　) A．y＝2x　　　　　　　　　 B．y＝x2－1 C．y＝2x－2 D．y＝log2x 解析：选D.根据x＝0.50，y＝－0.99，代入计算，可以排除A；根据x＝2.01，y＝0.98，代入计算，可以排除B，C；将各数据代入函数y＝log2x，可知满足题意． 3．某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计图如图所示，则下列说法中错误的是(　　) A．收入最高值与收入最低值的比是3∶1 B．结余最高的月份是7月 C．1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同 D．前6个月的平均收入为40万元 解析：选D.由题图可知，收入最高值为90万元，收入最低值为30万元，其比是3∶1，故A正确；由题图可知，7月份的结余最高，为80－20＝60(万元)，故B正确；由题图可知，1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同，故C正确；由题图可知，前6个月的平均收入为eq \f(1,6)×(40＋60＋30＋30＋50＋60)＝45(万元)，故D错误． 4．(易错题)某城市客运公司确定客票价格的方法是：如果行程不超过100 km，票价是0.5元/km，如果超过100 km，超过100 km的部分按0.4元/km定价，则客运票价y(元)与行驶千米数x(km)之间的函数关系式是________．　 解析：由题意可得y＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0.5x，0x≤100，,0.4x＋10，x100.)) 答案：y＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0.5x，0x≤100，,0.4x＋10，x100)) 5．生产一定数量商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)＝eq \f(1,2)x2＋2x＋20(万元)．一万件售价为20万元，为获