高等数学：第15讲 隐函数的求导法.ppt

* * * 运行时, 点击按钮 “公式”,可显示二阶线性方程组解的公式, 演示结束自动返回. 第五节 本节内容: 一、一个方程的情形 二、方程组的情形 隐函数的求导公式 第八章 问题：1.方程（组）满足何条件才能确定隐函数； 前面讨论了如果一个二元方程确定了一个隐函数，可以不对这个隐函数显式化而直接求其导数的问题． 2. 方程（组）确定的隐函数如何求导（偏导）. 一、一个方程时的情形 １．一个二元方程 任何一个二元方程在任何条件下都可以确定一个隐函数吗？考虑方程 在点（1,0）附近的情况，在点（0,1）附近呢？ 讨论： 函数是x和y是两个变量，D是一个给定的数集，若对于 ，变量y按照确定的法则总有唯一确定的数值和它对应，则称y是x的函数. 答： 方程 在点（1,0）附近，对于任意的x ，都有y的两个值 与之对应，因此，在点 （1,0）附近该方程不能确定一个函 数 ． 事实上，对任意一个给定的方程，要由它确定一个隐函数是需要一些条件的，为此有隐函数存在定理. 但在点(0,1)附近就不同了，在这点附近，对于任意的x 都有y的唯一的一个值 与之对应．因此，在点（0,1）附近该方程能确定一个函数 ． 定理1. 设函数 则方程 单值连续函数 , 并有连续 (隐函数求导公式) ① 的某邻域内可唯一确定一个 ② ③ 满足条件 机动 目录 上页 下页 返回 结束 导数 由定理的条件与结论来看，条件中 的意义何在？ 在点 的某一邻域内具有连续偏导数； 满足 由于 及 连续，因此存在 的一个邻域，在这个邻域内 ， 这个结论是由哪个条件保证的呢？ 关于隐函数存在性的证明省略，我们仅在隐函数存在的前提下，借助多元复合函数求导的链式法则来说明 的正确性． 将由方程 所确定的隐函数 代入该方程中，得 将方程的两端分别对x求导，左端利用链式法则得 于是得 看到定理条件中偏导数连续的意义了吗？ 若F( x , y ) 的二阶偏导数也都连续, 二阶导数 : 则还有 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例1. 验证方程 在点(0,0)某邻域 可确定一个单值可导隐函数 解: 令 连续 , 由 定理1 可知, ① 导的隐函数 则 ② ③ 在 x = 0 的某邻域内方程存在单值可 且 机动 目录 上页 下页 返回 结束 并求 机动 目录 上页 下页 返回 结束 两边对 x 求导 两边再对 x 求导 令 x = 0 , 注意此时 导数的另一求法 — 利用复合函数求导 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理2 . 若函数 的某邻域内具有连续偏导数 , 则方程 在点 并有连续偏导数 定一个单值连续函数 z = f (x , y) , 定理证明从略, 仅就求导公式推导如下: 满足 ① 在点 满足: ② ③ 某一邻域内可唯一确 机动 目录 上页 下页 返回 结束 增加方程中变量的个数 2．三元或三元以上的方程 两边对 x 求偏导 同样可得 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解法1 利用公式 设 则 两边对 x 求偏导 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例2. 设 例2. 设 解法2 利用复合函数求导 机动 目录 上页 下页 返回 结束 再对 x 求导 隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形. 由 F、G 的偏导数组成的行列式 称为F、G 的雅可比( Jacobi )行列式. 以两个方程确定两个隐函数的情况为例 , 即 雅可比 目录 上页 下页 返回 结束 二、方程组确定的隐函数情形 定理3. 的某一邻域内具有连续偏 设函数 则方程组 ③ 的单值连续函数 且有偏导数公式 : ① 在点 ② 的某一邻域内可唯一确定一组满足条件 满足: 导数； 机动 目录 上页 下页 返回 结束 有隐函数组 则 两边对 x 求导得 设方程组 在点P 的某邻域内 公式 目录 上页