概率论与随机过程：第2章 第一节 随机变量及其分布函数.ppt

第二章 随机变量及其分布 第一节 随机变量及其分布函数 第二节 离散型随机变量及其分布 第三节 连续型随机变量及其分布 第四节 随机变量函数的分布 例1：考虑下面的试验E：在区间[0,1]上任取一点，记录该点的坐标，试验E的样本空间?={?|0≤?≤1} ,每个样本点?是[0,1]上的一个数字。 若令：X表示“在[0,1]上任取一点的坐标”,则 I：它是在[0,1]上取值的一个变量，而且它的取值依赖于试验结果?，这种依赖关系可用一个样本点?的函数来表达:X=X(?), ??? . 如：当?=1/2时, X=X(1/2)=1/2.  II：? x?(-∞ ,+∞ ), {X≤ x}={?|X(?)≤ x}是一个事件，因而可求出其概率 。 如 x= -1, P{X≤-1}=P{?|X(?)≤-1}=P(?)=0. x=2/3, P{X≤2/3}=P{?|X(?)≤2/3}=2/3. 例2：系球队参加学校比赛， 实验E为：记录一场比赛结果。试验E的样本空间?={“胜”“平”“负”} ，若设各结果对应的分数为?={“胜”“平”“负”}={2分，1分，0分}， 令 X: ?1?2, ?2?1, ?3?0， 即X表示“该队参加一场比赛的分数” II . ?x?(-∞,+∞),{X≤ x}={?|X(?) ≤ x}是一个事件。 如： 当x=0.3时，P{X≤ 0.3}=P{?|X(?) ≤0.3} =P ({?3})=1/4. 当x=1时,P{X≤ 1}=P({?2, ?3})=1/4 +1/4 =1/2 定义：设X(?)是定义在样本空间?={?}上的单值实函数,如果对于每个???,有一个实数X(?)与之对应, 且?x?(-∞,+∞) , {?|X(?) ≤ x}是一个事件,则称X(?)为随机变量。 一般地，X(?)写为X，{X≤x}={?|X(?) ≤ x}。 随机变量常用大写字母X,Y,Z,U,V,W……表示，或写成r,v ,X 。 例1: 考察“抛硬币”这一试验，它有两种可能结果：“出现H”或“出现T”。我们用数字“1”代表“出现H”，用数“0”代表“出现T”。 引入一个变量X，X与试验结果的关系为 例2: 考虑“测试灯泡寿命”这一试验。试验结果本身是用数字描述的，令X表示灯泡的寿命（以小时计），这个变量X是定义在样本空间 ?={t|t≥0}上的函数，具体地说就是 X=X(?)=t， ?=t∈? X是随机变量。它的值域为RX=[0，+∞），而且{X＜500}表示事件“任取出的灯泡的寿命小于500小时”，事件“任取的灯泡的寿命大于500小时且不超过1000小时”可用X表示为{500＜X≤1000}。 例3: 考察掷两次硬币这一试验，样本空间为?=｛HH，HT，TH，TT｝，令X表示正面出现的次数，X是一随机变量，且有｛X＝1｝＝｛HT，TH｝，Rx=｛0，1，2｝ 例4: 从一批产品中任取n件，令X表示取出的n件产品中的次品数，则X为一随机变量，Rx＝｛0，1，…n｝ 例5: 假设我们关心某地区居民的身高情况，可引入随机变量X：(单位cm) X＝随机抽出一个人其身高  则X就是随机变量，事件 “随机抽出一个人的身高不超过170cm” ｛X≤170｝。 例6: 某射手向一目标射击，其弹着点的横坐标X是一随机变量，其纵坐标Y也是随机变量。 例7:一批产品共100件，其中95件合格，5件不合格。从中有放回地一件一件地取产品，直到取出一件合格品为止时所取出的产品件数X是一随机变量。Rx={1,2,...} 例8: 一个月某交通路口的事故数X，是随机变量。 例9: 用天平称量某物体的重量的误差X，是随机变量。 注释： （1）随机变量与普通变量的比较： 随机变量X:定义域? ，值域RX为全体实数或者它的一个子集，自变量???。 与普通函数不同：定义域不同； 关键是r,v的取值是随机的，事先可以知道它的取值范围，但不知道到底取哪个值，每个取值有一定概率规律，只有试验完成后才知 r,v取哪个值。 （3）对于r,v,X更重要的是搞清：（I）它的取值范围；（II）取值的概率规律。 （试验结果） （事件的概率）  通常我们称一个r,v,X取值的概