概率论与随机过程：第3章 第四节 条件分布 (2).ppt

第四节 条件分布 引言 一、离散型随机变量的条件分布律 设(X,Y)是二维离散型随机变量,其分布律为 P{X=xi,Y=yj}=pij , i, j=1,2,…. (X,Y)关于X和关于Y的边缘分布律分别为  P{X=xi}=pi· i=1,2,…. P{Y=yj}=p·j j=1,2,…. 设pi·0,p·j0，考虑在事件{Y=yj}已发生的条件下事件{X=xi}发生的概率,即  {X=xi|Y=yj}, i=1,2,….的概率,由条件概率公式, 显然，上述条件概率具有分布律的特性 (1).P{X=xi|Y=yj}≥0； 同理，对于固定的i，若P{X=xi}0，则称 同理： 解：X与Y的边缘分布如表： 二、连续型随机变量条件分布的定义 设(X,Y)是二维连续型随机变量,这时由于对任意x,y有P{X=x}=0 , P{Y=y}=0 ,因此不能直接用条件概率公式引入条件分布函数P{X≤x|Y＝y}.下面我们用极限的方法来处理. 给定y,设对于任意固定的正数ε,P{y-ε＜Y≤y+ε}0 ,于是对于任意x有 1.条件分布函数的定义：给定y,设对于任意实数x,若极限 3.条件概率密度 定义 例1: 设(X,Y)服从二维正态分布 N(μ1,μ2,σ12,σ22,?),求在X=x的条件下,Y的条件密度函数fY|X(y|x). 解: (X,Y)的密度函数为 例2: 设数X在区间(0,1)上随机地取值,当观察到X=x(0x1)时,数Y在区间(x,1)上随机取值.求Y的概率密度fY(y). 解: 按题意X具有概率密度 例3:设(X,Y)的概率密度为 * * 1．定义  设(X,Y)是二维离散型随机变量,对于固定  的j，若P{Y=yj}0，则称 为在Y=yj条件下随机变量X的条件分布律。 为在X=xi条件下随机变量Y的条件分布律。 2. 条件分布函数 例1 二维离散型随机变量(X,Y)的分布律如表 X Y X1= -1 X2=1 X3=2 Y=0 1/12 0 3/12 Y=3/2 2/12 1/12 1/12 Y=2 3/12 1/12 0 求条件分布律P{X=xi|Y=2}. X Y x1=-1 x2 =1 x3 =2 p.j y1=0 1/12 0 3/12 4/12 y2 =3/2 2/12 1/12 1/12 4/12  y3=2 3/12 1/12 0 4/12 pi . 6/12 2/12 2/12 4/12 P{X=-1|Y=2}=p13/p.3=3/4； P{X=1|Y=2}=p23/p.3=1/4； P{X=2|Y=2}=p33/p.3=0； 又如：P{X=1|Y=0}=p21/p.1=0等； 上式给出了在任意y-ε＜Y≤y+ε下X的条件分布函数,现在我们引入以下的定义. 存在,则称此极限为在条件Y=y下X的条件分布函数, 记为P{X≤x|Y=y}或记为FX|Y(x|y). 2．公式： 设(X,Y)的分布函数为F(x,y)，概率密度为f(x,y).若在点(x,y)处f(x,y), fY(y)连续,且fY(y)0,则有 同理， 称为在Y=y条件下X的条件概率密度，且满足概率密度的两个性质。 称为在X=x条件下X的条件概率密度，且满足概率密度的两个性质。 由上一节的例知道 所以X=x条件下Y的条件概率密度为 这正是正态分布 对于任意给定的值x(0x1),在X=x的条件下,Y的条件概率密度 于是得联合概率密度为 于是得关于Y的边缘概率密度为 求:(1) fY|X(y|x)；(2)P{Y?2|X=1/2}。 解：(1)先求X的边缘概率密度。 当0x2时，