概率论与随机过程：第6章 4平稳随机过程.ppt

平稳随机过程 引言 一、严平稳随机过程 1．定义：设{X(t),t?T}是随机过程,如果对于任意的常数h和任意正整数n,及任意的n维随机向量(X(t1),X(t2),…,X(tn))和(X(t1+h),X(t2+h),…,X(tn+h))具有相同的分布,则称随机过程{X(t),t?T}具有平稳性,并同时称此过程为严平稳过程。 平稳过程的参数集T,一般为(- ?,+?),?0,+??, {0,?1,?2,…},{0,1,2,…},以下如无特殊说明，均认为参数集T=(-?,+?). 当定义在离散参数集上时,也称过程为严平稳时间序列。 2．严平稳过程的数字特征 定理 如果{X(t),t?T}是严平稳过程，且对任意的t?T，E[X2(t)]+?,则有 (1)E[X(t)]=常数，t?T； (2)E[X(s)X(t)]只依赖于t-s,而与s,t?T的具体取值无关。 证：(1)由Cauchy-Schwarze不等式 {E[X(t)]}2?E[X2(t)]+?,所以E[X(t)]存在。 在严平稳过程的定义中，令h=-s,由定义X(s)与X(0)同分布，所以E[X(t)]= E[X(0)]为常数。一般记为?X. (2) 由Cauchy-Schwarze不等式 { E[X(s)X(t)]}2? E[X2(s)]E[X2(t)]+?, 所以E[X(s)X(t)]存在。 在严平稳过程的定义中，令h=-s, 由定义(X(s),X(t))与(X(0),X(t-s))同分布，即有E[X(s)X(t)]= E[X(0)X(t-s)] 即Rx(t,t+?)=E[X(0)X(?)]=Rx(?) 所以，Rx(s,t)只依赖于t-s,而与s,t?T的具体取值无关。 进而，Cx(?)=E{[X(t)-?x][X(t+?)-?x]}=Rx(?)-?x2只与?有关；  ?x2=Cx(0)=Rx(0)-?x2 为常数. 二、(弱)平稳过程 1． 定义 设{X(t),t?T}是二阶矩过程,如果 (1) E[X(t)]=?x(常数)，t?T； (2) 对任意的t,t+??T, Rx(?)=E[X(t)X(t+?)]只依赖于?。则称{X(t),t?T}为宽平稳过程,简称为平稳过程. 2．严平稳和宽平稳的关系 (1)．严平稳过程不一定是宽平稳过程,因为严平稳的过程不一定是二阶矩过程,但当严平稳过程是二阶矩过程时,则它一定是宽平稳过程。 (2)．宽平稳过程不一定是严平稳过程,但对于正态过程,两者是等价的 4．{X(t)}为正态过程，则{X(t)}是严平稳过程?{X(t)}是宽平稳过程。 例1: (白噪声过程)设{Xn,n=0,?1,…}是互不相关的时间序列,且E[Xn]=0,D(Xn)=?20,讨论其平稳性. 解: 因为E[Xn]=0, //例3: 考虑随机电报信号,信号X(t)由只取 I 或-I的电流给出(图8-1画出了的一条样本曲线).这里 其中λ0是单位时间内变号次数的数学期望,试讨论X(t)的平稳性 解: 显然,E[X(t)]=0现在来计算E[X(t) X(t+τ)],先设τ0我们注意,如果电流在(t,t+τ)内变号偶数次,则X(t)和X(t+τ)必同号且乘积为I2,因为事件 注意,上述结果与t 无关,故若τ0时,只需令t=t+τ则有 3．自相关函数的性质 性质1.Rx(0)?0； 证: Rx(0)=E[X2(t)]?0 性质2. Rx(?)为偶函数，即Rx(-?)=Rx(?) 证： Rx(-?)=E[X(t)X(t-?)]= E[X(t-?)X(t)]= Rx(?) 性质3.|Rx(?)|? Rx(0); |Cx(?)|? Cx(0)=?2(?); 证：由柯西-施瓦兹不等式 性质4.非负定性.即对任意n, 任意实数a1,a2,…,an,任意t1,t2,…,tn∈T有 应用： 4．平稳相关与互相关函数 (2) 互相关函数的性质 例1: 如图所示，将两个平稳过程X(t)，Y(t)同时输入加法器中,加法器输出随机过程W(t)=X(t)+Y(t),若X(t)与Y(t)平稳相关，则W(t)为平稳过程 例2: 设X(t)=Asin(?t+Θ)，Y(t)=Bsin(?t+Θ-?),A,B, ?, ?为常数，Θ在(0,2?)上服从均匀分布，求RXY(?)。 解: X(t),Y(t)均为平稳过程. 所以，X(t), Y(t)为联合平稳的。 同样的方法可算得 随机分析 引言  一、均方收敛及均方连续 1.均方收敛的定义：设有二阶矩随机序列｛Xn,n=1,2,…｝和随