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指数方程与对数方程 指数、对数方程练习与解析 [知识点] 1．指数方程与对数方程的定义：在指数上含有未知数的方程，叫做指数方程；在对数符号后面含有未知数的方程，叫做对数方程。 2.求解指数和对数方程的基本思想：改变相同的基数或改变元素。3.指数方程的基本类型：（1）a（2）a（3）ax？C（a0，a0，c0），解是x？logac ?ag(x)(a?0,a?1)，转化为代数方程f(x)?g(x)求解； ? 将BG（x）（a0，a1，b0，b1）转化为代数方程f（x）LGA？G（x）LGB溶液？0（a？0，a？0），用代换法求方程f（y）？然后解指数方程AX？Y f(x)f(x)（4）f(ax4.对数方程的基本类型：（1）logax?b(a?0,a?1),其解为x?ab； ? f（x）？g（x）？（2） logaf（x）？Logag（x）（a？0，a？1），转换为？f（x）？0溶液； ?g(x)?0?（3）f(loga 典型例子 【例1】解下列方程：(1)9+6=2 xx2x+1 x)?0(a?0,a?0)，用换元法先求方程f(y)?0的解，再解对数方程logax?y。 ； (2)log4(3-x)+log1(3+x)=log4(1-x)+log1(2x+1)； 44x-1 (3)log2(9-5)-log2(3-2)=2.【解前点津】(1)可化为关于（于3的一元二次方程. [标准溶液]（1）根据原始方程：3+32=22，两边除以2：（因式分解） 2xx-1 23）一元二次方程；（2） 它可以直接作为一个变量的二次方程求解；（3） 转换为关闭 xx-1 xx2x2x32）+( 2x32）-2=0. x323∵( 2[（ ）-1][( xx32)+2]=0. x） +20∴( 32)-1=0，x=0. 原始方程的X（2）：log4（3-X）-log4（3+X）=log4（1-X）-log4（2x+1）？（3-x）（2x+1）=（1-x）（3+x）解决方案：x=0或7。通过试验可知，x=0是原方程（3）log2（9-5）=log24（3-2）的解 x-1 x-1 x-1 ? 九 x-1 -5=4（3）-8分解得到：（3-1）（3-3）=0 x-1x-1x-1 ? 三 x-1 =1或 3=3?x=1或2.经检验x=2是原方程解. 【解后归纳】将超越方程转化为代数方程时，指数方程和对数方程的求解思路是变换，因为变换过程有时“不等价”，所以需要检验根。“必须放弃增加根，必须找到失去根”是解方程的基本原则[例2]解关于X:LG（X-2ax）-LG（6a-3）=0的方程 【解前点津】利用对数函数的单调性，去掉对数符号，并保留“等价性”. 二 ?x2?2ax?01?a?????【规范解答】化原方程为：?6a?3?02?x2?2ax?6a?3?(x?a)2?a2?6a?3??∵a 12，∴a+6a-3 2 14+6 × 12-30，故由(x-a)=a+6a-3得：x-a=± 22 a2?6a?3即x=a± a2？6a？3（a 12). 【解后归纳】参数方程的解通常根据具体条件确定参数的取值范围【例3】解X:A4+（2a-1）2+1=0的方程 【解前点津】令t=2，则关于t的一元方程至少有一个正根，a是否为0，决定了方程的“次数”.ァ竟娣督獯稹①当a=0时，2=1，x=0； ② 当≠ 0，δ=（2a-1）-4a=1-4a；如果δ≥ 0，a≤ 2 二 2 22 xxxx14(a≠0). 关于t at+（2a-1）t+1=0的一元二次方程至少有一个正根，二者的乘积为 1a20，故两根之和为正 数字，即 1?2a10a2a2，故a≤ 14（a）≠ 0), 2= x?(1?2a)?2a21?4a?，故a≤1(a≠0)时， 4x=log2 1?2a?1?4a2a2为原方程之根. 【解后归纳】方程“变”后，如何保持“等价”是关键。确定“新元素”与“旧元素”的对应关系和“新元素”的取值范围 【例4】当a为何值时，关于x的方程4-(2a+1)2+a+2=0的根一个比另一个大1. 设y=2，则问题转化为