初中几何三角形五心及定理性质.docx

第 第 PAGE 1 页 共 6 页 初中几何三角形五心定律及性质 三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心。三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，内心定理，旁心定理的总称 三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心。 三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，内心定理，旁心定 理的总称 重心定理 三角形的三条边的中线交于一点。该点叫做三角形的重心。三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。（重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名） 重心的性质： 1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为 2︰1。 2、重心和三角形任意两个顶点组成的3 个三角形面积相等。即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。 3、重心到三角形 3 个顶点距离的平方和最小。 4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其重心坐标为（（X1+X2+X3）/3，（Y1+Y2+Y3）/3）。 5. 以重心为起点，以三角形三顶点为终点的三条向量之和等于零向量。 外心定理 外心定理 垂心定理图 垂心定理 图 1 图 2 三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。 三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。外心的性质： 1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形的外心。 2、若O 是△ABC 的外心，则∠BOC=2∠A（∠A 为锐角或直角）或 ∠BOC=360°-2∠A（∠A 为钝角）。 3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时， 外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。 5、外心到三顶点的距离相等 垂心的性质： 1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这 7 个点可以得到 6 个四点圆。 2、三角形外心O、重心G 和垂心H 三点共线，且OG︰GH=1︰2。（此直线称为三角形的欧拉线（Euler line）） 3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2 倍。 4、垂心分每条高线的两部分乘积相等。推论： 若 D 、 E 、 F 分别是 △ABC 三边的高的垂足，则 ∠1 = ∠2 。（图 1） 三角形的垂心是其垂足三角形的内心。（图 1） 若 D 、 E 、 F 分别是 △ABC 三边的高的垂足，则 ∠1 = ∠2 。（图 2） 定理证明 已知：ΔABC 中，AD、BE 是两条高，AD、BE 相交于点O，连接CO 并延长交 AB 于点F ，求证：CF⊥AB 证明： 连接DE ∵∠ADB=∠AEB=90 度 ∴A、B、D、E 四点共圆 ∴∠ADE=∠ABE 第 第 PAGE 4 页 共 6 页 又∵∠ODC= 又∵∠ODC=∠OEC=90 度 ∴O、D、C、E 四点共圆 ∴∠ACF=∠ADE=∠ABE 又∵∠ABE+∠BAC=90 度 ∴∠ACF+∠BAC=90 度 ∴CF⊥AB 因此，垂心定理成立 内心定理 三角形内切圆的圆心，叫做三角形的内心。内心的性质： 1、三角形的三条内角平分线交于一点。该点即为三角形的内心。 2、直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和与斜边的差的二分之一。 3、P 为 ΔABC 所在空间中任意一点，点 0 是 ΔABC 内心的充要条件是：向量P0=(a×向量PA+b×向量 PB+c×向量PC)/(a+b+c). 4、O 为三角形的内心，A、B、C 分别为三角形的三个顶点，延长AO 交BC 边于 N，则有AO:ON=AB:BN=AC:CN=(AB+AC):BC 5、 5、(欧拉定理)⊿ABC 中，R 和r 分别为外接圆为和内切圆的半径，O 和I 分 别为其外心和内心，则OI^2=R^2-2Rr． 6、（内角平分线分三边长度关系） △ABC 中，0 为内心，∠A 、∠B、 ∠C 的内角平分线分别交BC、AC、AB 于 Q、P、R， 则BQ/QC=c/b, CP/PA=a/c, BR/RA=a/b. 7、内心到三角形三边距离相等。 旁心定理 三角形的旁切圆（与三角形的一边和其他两边的延长线相切的圆）的圆心，叫做三角形的旁心。 旁心的性质： 1、三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点，该点即为三角形的旁心。旁心一定在三角形外。 2、任何三角形都存在三个旁切圆、三个旁心。 3、旁心到三角形三边的距离相等。 如图，点 如图，点M 就是△ABC 的一个旁心。三角形任意两角的外角平分线和第三个 角的内角平分线的交点。一个三角形有三个旁心，而且一定在三角形外。 附：三角形的中心：只有正三角形才有中心，这时重心，内心，外心，垂心， 四心合一。 巧记诗歌 三角形五心歌（重外垂内旁） 三角形有五颗心，重外垂