高等数学（工科类）全套完整课件.pptx

高等数学（工科类）;第一章 极限与连续;第一节 函数 ;2.函数的表示法 1）表格法 将自变量的值与对应的函数值列成表格表示两个变量的函数关系的方法.如三角函数表、常用对数表以及经济分析中的各种统计报表等. 2）图像法 用图像表示两个变量的函数关系的方法.如图1-1所示.;3.函数的定义域 要使解析式有意义，我们通常考虑以下几点： (1)分式的分母不能为零； (2)偶次根式的被开方数必须为非负数； (3)对数式中的真数必须大于零； (4)幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数考虑各自的定义域； (5)若函数表达式是由几个数学式子组成，则其定义域应取各部分定义域的交集； (6)分段函数的定义域是各个定义区间的并集．;【解】(1) 若使函数有意义，则x2+2x+1≠0，即(x+1)2≠0.即x≠-1.所以函数的定义域为(-∞，-1)∪(-1，+∞). (2) 若使函数有意义，则 解得1＜x≤2或-2≤x＜-1.所以函数的定义域为［-2，-1)∪(1，2］. (3) 若使函数有意义，则 所以函数的定义域为(-1，+∞). (4) 是分段函数.若使函数有意义，则将分段表达式的定义域合在一起，可得该分段函数的定义域.所以函数的定义域为［0，+∞）;二、函数的性质;【例1】判断下列函数的奇偶性. ;【解】(1) 因为f(x)的定义域D=(-∞，+∞)是关于原点对称的 区间，又因为对于任意的x∈(-∞，+∞)， 都有f(-x)=(-x)2=x2=f(x)，所以f(x)=x2是偶函数.;2.单调性 定义3若对于区间D内任意的两点x1，x2，当x1＜x2时，恒有f(x1)＜f(x2)，那么f(x)在区间D上单调增加，区间D称为单调增区间；如果恒有f(x1)＞f(x2)，那么f(x)在区间D上单调减少，区间D称为单调减区间. 单调增函数图像沿x轴正向上升，如图1-6所示；单调减函数图像沿x轴正向下降，如图1-7所示.;【例2】证明f(x)=x2在区间［0，+∞)上是单调递增函数，在区间(-∞，0)上是单调递减函数.;3.有界性 定义4设函数f(x)的定义域为D，数集XD.如果存在数K1，使得 f(x)≤K1 对任意x∈X都成立，则称函数f(x)在X上有上界， K1称为函数f(x)在X上的一个上界， 如果存在数K2，使得 f(x)≥K2 对任意x∈X都成立，则称函数f(x)在X上有下界， K2称为函数f(x)在X上的一个下界， 如果存在正数M，使得 |f(x)|≤M 对任意x∈X都成立，则称函数f(x)在X上有界，如果这样的M不存在，就称函数f(x)在X上无界；这就是说，如果对于任何正数M,总存在x1∈X，使|f(x1)|＞M，那么函数f(x)在X上无界.;【例3】就函数f(x)=sinx在(-∞，+∞)内来说，数1是它的一个上界，数-1是它的一个下界(当然，大于1的任何数也是它的上界，小于-1的任何数也是它的下界). 又 |sinx|≤1 对任一实数x都成立，故函数f(x)=sinx在(-∞，+∞)内是有界的. 这里M=1 (当然也可取大于1的任何数作为M而使|f(x)|≤M成立).;4.周期性 定义5设函数f(x)的定义域为D.对于任意的x∈D，存在不为零的数T，使f(x+T)=f(x)，那么f(x)为D上的周期函数.T称为函数的一个周期，并且nT(n为非零整数)也是它的周期.平时，我们把函数的最小正周期称为函数的周期. 【例4】函数y=sinx和y=cosx都是以2π为周期的周期函数.y=sinx和y=cosx的图像分别如图1-8，图1-9所示. ;三、初等函数;2.复合函数 定义6若函数y=f(u),u=g(x),且u=g(x)的值域或部分值域包含在f(u)的定义域中,则变量y通过变量u与变量x建立了对应关系,这个对应关系称为y是x的复合函数,u是中间变量,x是自变量,通常将 y=f(u),u=g(x) 合并写成 y=f［g(x)］ 不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的;复合函数也可以由两个以上的函数经过复合构成.;【例1】指出下列函数的复合过程:;【例2】;一、数列的极限;问题:;定义1;;注意:;例1;例2;注:;例3;证;综合之，故;数列极限的运算法则;【例5】;【例6】求下列极限;二、函数的极限;;定义1;几何解释:;单侧极限:;左极限;定理;例2;用 定义” 验证函数极限:;