二项分布、数学期望方差专题复习有详解重点中学用.docx

第十讲 二项分布及应用 随机变量的均值与方差 知识要点 事件的相互独立性(概率的乘法公式) 设 A、B 为两个事件，如果P(AB)＝P(A)P(B)，则称事件 A 与事件B 相互独立． 互斥事件概率的加法公式：如果事件A 与事件B 互斥，则P(A＋B)＝P(A)＋P(B)． 对立事件的概率：若事件A 与事件B 互为对立事件，则P(A)＝1－P(B)． 条件概率的加法公式：若B、C 是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A) 独立重复试验：在相同条件下重复做的n 次试验称为 n 次独立重复试验，即若用 A (i＝1,2，…，n)表 i 示第 i 次试验结果，则 P(A A A …A )＝P(A )P(A )P(A )…P(A )． 1 2 3 n 1 2 3 n 注：判断某事件发生是否是独立重复试验，关键有两点 在同样的条件下重复，相互独立进行；(2)试验结果要么发生，要么不发生． 二项分布：在 n 次独立重复试验中，设事件A 发生的次数为 X，在每次试验中事件 A 发生的概率为 p， 那么在n 次独立重复试验中，事件 A 恰好发生k 次的概率为P(X＝k)＝Ckpk·(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)， n 此时称随机变量X 服从二项分布，记作X～B(n，p)，并称p 为成功概率． 注：判断一个随机变量是否服从二项分布，要看两点 是否为n 次独立重复试验．(2)随机变量是否为在这n 次独立重复试验中某事件发生的次数． 离散型随机变量的均值与方差及其性质 定义：若离散型随机变量X 的分布列为P(ξ＝x )＝p ，i＝1,2，…，n. i i 均值：称E(X)＝x p ＋x p ＋…＋x p ＋…＋x p 为随机变量X 的均值或数学期望． 1 1 2 2 i i n n n (2)方差：D(X)＝∑ (x －E(X))2p 为随机变量X 的方差，其算术平方根 D X 为随机变量X 的标准差． i i i＝1 (3)均值与方差的性质：(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b；(2)D(aX＋b)＝a2D(X)．(a，b 为常数) 8.两点分布与二项分布的均值、方差 变量 X 服从两点分布： E(X)＝p ， D(X)＝p(1－p)； X～B(n，p)： E(X)＝np ，D(X)＝np(1－p) 典例精析 例 1.【2015 高考四川，理 17】某市 A,B 两所中学的学生组队参加辩论赛，A 中学推荐 3 名男生，2 名女生， B 中学推荐了 3 名男生，4 名女生，两校推荐的学生一起参加集训，由于集训后队员的水平相当，从参加集训的男生中随机抽取 3 人，女生中随机抽取 3 人组成代表队 求A 中学至少有 1 名学生入选代表队的概率. 某场比赛前，从代表队的 6 名队员中随机抽取 4 人参赛，设 X 表示参赛的男生人数，求 X 得分布列和数学期望. 例 2．如图，用 K、A 、A 三类不同的元件连接成一个系统．当 K 正常工作且A 、A 至少有一个正常工作时， 1 2 1 2 系统正常工作．已知 K、A 、A 正常工作的概率依次为 0.9、0.8、0.8， 1 2 则系统正常工作的概率为 ( ) A．0.960 B．0.864 C．0.720 D．0.576 例 3.(2013·山东高考)甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3 局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除 1 2 第五局甲队获胜的概率是 外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是 ，假设各局比赛结果相互独立． 2 3 (1)分别求甲队以 3∶0,3∶1,3∶2 胜利的概率． (2)若比赛结果为 3∶0 或 3∶1，则胜利方得 3 分，对方得 0 分；若比赛结果为 3∶2，则胜利方得 2 分，对方得 1 分．求乙队得分X 的分布列及数学期望． 例 4.为贯彻“激情工作，快乐生活”的理念，某单位在工作之余举行趣味知识有奖竞赛，比赛分初赛和决赛两部分，为了增加节目的趣味性，初赛采用选手选一题答一题的方式进行，每位选手最多有5 次选答题的机会，选手累计答对3 题或答错 3 题即终止其初赛的比赛，答对3 题者直接进入决赛，答错3 题者则被 2 淘汰，已知选手甲答题的正确率为 . 3 求选手甲答题次数不超过 4 次可进入决赛的概率； 设选手甲在初赛 中答题的个数 ξ ，试写出 ξ 的分布列，并求 ξ 的数学期望． 例 5.(2014·福建高考改编)为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对 1 000 位顾客进行奖励，规定： 每位顾客从一个装有 4 个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2 个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额． 若袋中所装的 4 个球中有 1 个所标的面值为 50 元，其余 3 个均为 10 元．求： ①顾客所获的奖励额为 60 元的概率；②顾