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第四节 有理函数的积分 一、 有理函数的积分 两个多项式的商表示的函数称为有理函数. P (x ) a x n a x n1 a x a 0 1 n1 n Q(x ) b x m b x m1 b x b 0 1 m1 m 其中 、 都是非负整数；a ,a , ,a 及 m n 0 1 n b ,b , ,b 都是实数，并且a 0，b 0. 0 1 m 0 0 假定分子与分母之间没有公因式 (1) n m, 这有理函数是真分式； (2) n m, 这有理函数是假分式； 代数理论: (1)一个实系数多项式在实数范围内 可分解为一次因式与二次质因式的乘积; (2)利用多项式除法, 假分式可以 化为一个多项式和一个真分式之和. x 5 x 1 2x 1 例 x 3 x  . x 2 1 x 2 1 真分式的积分方法 将真分式化为部分分式之和，再逐项积分. 准备工作：先将分母在实数范围内 分解为一次因式与二次质因式的乘积. 难点 将真分式化为部分分式之和. 真分式化为部分分式之和的一般规律： （1）分母中若有因式(x a)k ，则分解后为 A A A 1 2 k k  k 1  , (x a) (x a) x a 其中A , A , , A 都是常数. 1 2 k A k 1, 特别地： 分解后为 ; x a （2 ）分母中若有二次质因式 (x 2 px q)k， p 2 4q 0 ,则分解后为 M x N M x N M x N 1 1 2 2 k k   (x 2 px q)k