第四章 微分方程 第一节 微分方程的基本概念.pdfVIP

第四章 微分方程 第一节 微分方程的基本概念 第二节 可分离变量的微分方程 第三节 一阶线性微分方程 第四节 齐次型方程 第五节 可降阶的高阶微分方程 第六节 线性微分方程解的结构 第七节 二阶常系数齐次线性微分方程 第一节 微分方程的基本概念 一、问题的提出 引例 1 一曲线通过点(1,2),且在该曲线上任一点 M (x , y ) 2x 处的切线的斜率为 ,求这曲线的方程. 解 设所求曲线为 y y (x ) dy 2x 其中x 1时, y 2 dx y 2xdx 即y x 2 C, 求得C 1, 所求曲线方程为y x 2 1 . 引例2 列车在平直的线路上以20 米/秒的速度行驶, 0.4 2 当制动时列车获得加速度 米/秒 ,问开始制动 后多少时间列车才能停住？以及列车在这段时间内 行驶了多少路程？ 解 设制动后t 秒钟行驶s 米, s s(t ) d 2 s ds 0.4 t 0时, s 0,v 20, dt 2 dt ds 2 v 0.4t C s 0.2t C t C 1 1 2 dt 代入条件后知 C 20, C 0 1 2 ds v 0.4t 20, dt 故 s 0.2t 2 20t , 20 开始制动到列车完全停住共需 t 50(秒), 0.4 列车在这段时间内行驶了 s 0.2 502 20 50 500(米). 二、微分方程的定义 凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程. 例 y  xy , y 2y 3y ex , (t2 x )dt xdx 0. 实质: 联系自变量,未知函数以及未知函数的 某些导数(或微分)之间的关系式. 微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的 阶数称为微分方程的阶. 一阶微分方程: 