第四节 高阶导数.pdfVIP

第四节 高阶导数 引例: 变速直线运动 s s(t),  则瞬时速度为v(t) s (t) 加速度a是速度v对时间t 的变化率    a(t) v (t) [s (t)] . 定义 如果函数f (x )的导数f (x )在点x处可导, 即   f (x x ) f (x ) (f (x )) lim x 0 x   存在,则称(f (x )) 为函数f (x )在点x处的二阶导数. 记作 f (x ), y , d 2 y 或d 2 f (x ) . dx 2 dx 2   d 3 y 二阶导数的导数称为三阶导数, f (x ), y , 3 . dx 三阶导数的导数称为四阶导数, f ( 4 ) (x ), y ( 4 ) , d 4 y . dx 4 一般地, 函数f (x )的n 1阶导数的导数称为 函数f (x )的n 阶导数, 记作 f ( n ) (x ), y ( n ) , d n y 或 d n f (x ) . dx n dx n 二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数. 相应地, f (x )称为零阶导数;f (x )称为一阶导数. 高阶导数求法举例 1.直接法:由高阶导数的定义逐步求高阶导数. 例1 设y arctan x , 求y (0), y (0). 1 1 2x 解 y  2 y  ( 2 ) 2 2 1x 1x (1x )  2x  2(3x 2 1) y ( 2 2 ) 2 3 (1x ) (1x ) 2x 2(3x 2 1) y (0) 2 2 x 0 0; y (0) 2 3 x 0 2. (1x ) (1x ) 例2 设y x  (R), 求y (n) . 解 (1)若不为自然数,则  1  1 