自动控制原理-第4章 根轨迹.ppt

八、根轨迹的分离角与会合角 根轨迹在s平面上某点相遇时，即闭环出现重极点。 分离角：根轨迹离开闭环重极点处的切线与实轴正方向的夹角。 汇合角：根轨迹进入闭环重极点处的切线与实轴正方向的夹角。 1.分离角： 例：单位反馈系统， 则1个零点z1=－5；3个极点：p1=0,p2=－3,p3＝－8 ① 分离点坐标： d＝－1.66 ②渐近线与实轴正方向夹角 渐近线与实轴交点的坐标： * 八、根轨迹的分离角与会合角 ③ kd*为分离点d处开环增益，应用模方程得 ④ kd* ＝4.22时，系统闭环有有3个特征根，两个重根d，另有一个根为s1。 D(s)=(s-s1)(s-d)2= kd*(s+5)+ s (s+3) (s+8) (s-s1)(s-d)2 =(s-s1)(s-1.66)2 =(s-s1)（s2+3.32s+2.76）=s3+11 s2+28.22s+21.1 采用综合法： -(s3+3.32s2+2.76s) 7.68s2+25.46s+21.1 -(7.68s2+25.49s+21.6) 0 s+7.68 即 s-s1=s+7.68；s1=-7.68 所以， kd* ＝4.22时，闭环有3个特征根：s1=-7.68，d2,3=-1.66 * 八、根轨迹的分离角与会合角 ⑤ 如何求在汇合点d处的分离角 如果有一个新系统开环传递函数： 该系统的零点：z1=-5，极点p1=-1.66, p2=-1.66, p3=-7.68 求原系统G(s)中k*从4.22→∞的根轨迹，相当于新系统kdd*从0 →∞的根轨迹。那么，原系统G(s)在k*＝4.22的分离角相当于新系统Gd(s)根轨迹的起始角，Gd(s)在d处起始角： d是分离点坐标，zj是原系统G(s)开环零点，si是原系统G(s)除了l个重极点外的，在k*＝kd*时，其它(n-l)个闭环极点，即新系统Gd(s)的极点。即k*＝kd*时 利用综合除法求出si 。 上例中，分离角： 是分离点处根轨迹的分支数（即重根数） * 八、根轨迹的分离角与会合角 会合角：将根轨迹方程写成另一种形式： 令 取 构造新系统 （1）原系统G(s)的零点称为新系统Ga(s)的极点，原系统G(s)的极点称为新系统Ga(s)的零点。 （2）原系统G(s)的根轨迹k*从0→∞时，新系统Ga(s)根轨迹ka*从∞→0；原系统G(s)的根轨迹k*从0→4.22时，相当于新系统Ga(s)根轨迹ka*从 ∞→1/4.22时的根轨迹。 （3）原系统G(s)的根轨迹k*＝4.22处，汇合角即为新系统Ga(s)在 ka*＝1/4.22处的分离角。 * 八、根轨迹的分离角与会合角 pi是新系统的开环零点，即原系统的开环极点； sj是新系统当ka*＝1/kd*处的闭环极点，共有(n-l)个，同时也是原系统k*＝kd*处的闭环极点，共有(n-l)个。 sj的求法： 新系统闭环特征方程 采用综合除法即可求得。 上例中，会合角： * 九、根轨迹与虚轴的交点 根轨迹与虚轴相交，说明在某个k，闭环特征方程有纯虚根。 将s=jw代入闭环特征方程 则有：Re[1+G(jw)H(jw)]＝0 Im[1+G(jw)H(jw)]＝0 由以上2个方程解得未知数w，kw(对应的根轨迹增益) 方法二：根据系统临界稳定的条件，利用劳斯判据法求解。 方法一： * 例 已知系统的开环传递函数如下所示，请求出根轨迹与虚轴的交点。 方法一：将s=jw 代入特征方程 经整理得 解：系统的特征方程为: * 方法二：由特征方程可知，该系统为三阶系统，系统型别为一型。 列劳斯表 又因为一对纯虚根必为数值相同，符号相反的根，所以用劳斯表s2行的系数可以构成辅助方程。 若根轨迹与虚轴相交，则表示系统存在纯虚根，该点对应的Kg使系统处于临界稳定状态，因此 * 十、开环极点与闭环极点的关系 闭环极点之和 系统闭环特征根为si，则，由闭环特征方程得： n－m≥2 则有： 即当n－m≥2时，系统闭环极点之和等于系统开环极点之和。 此时，系统闭环特征根不受开环零点的影响。这一关系可以用来求解： 1）分离点处的闭环极点。 2）用于验证所绘制的根轨迹的正确性。 当n－m≥2时，由于开环极点之和为常数，故，当闭环有一根轨迹右移时，必有其它轨迹左移。以此判断所绘制的根轨迹的正确性。 * 十、开环极点与闭环极点的关系 结论：若满足(n-m) ? 2，且有开环零点位于原点时，闭环极点之积等于开环极点之积。 闭环极点之积 n个闭环特征根之积为： 若 有 * 绘制根轨迹举例 （1）系统阶次较低