回归直线方程的三种推导方法.docxVIP

2022年-2023年 2022年-2023年 回归直线方程的三种推导方法 巴州二中母润萍 ? ?n x y ? n ?(x ? x ? ? x ) ( y ? y n y ? 1 2 ? ? y ) ? n x? ? nx y ? 1 2回归直线方程是新课改新增内容之一，在必修数学 ? 1 2 i i i ?1 ? n n ? 析的方法进行了研究，书中直接给出了回归直线方程系数的公式，在选修2-3 中给出了回归直线方程的 截距和斜率的最小二乘法估计公式的另一种形式的推导方法，根据所学知识，我总结了 3 种推导回归直 ? ?n x y ? 2nxy ? nxy ? ?n x y ? nxy ∴?n (x ? x)( y ? y) ? ?n x y ? nx y i i i i ， i i i i ． 线方程的方法： 设 x 与 y 是具有线性相关关系的两个变量，且相应于样本的一组观测值的 n 个点的坐标分别是： i ?1 i ?1 i ?1 i ?1 (x，y )，(x ，y )，(x ，y )， ，(x ，y ) ，设所求的回归方程为 y ? bx ? a ， (i ? 1，2，3， ，n) ．显然，上面的 二、推导：将Q 的表达式的各项先展开，再合并、变形 1 1 2 2 3 3 n n i i 各个偏差的符号有正、有负，如果将他们相加会相互抵消一部分，因此他们的和不能代表n 个点与回归 Q ? ( y 1 bx 1 ? a)2 ? ( y 2 bx 2 ? a)2 ? ( y 3 bx 3 ? a)2 ? ? ( y n bx n ? a)2 直线的整体上的接近程度，因而采用n 个偏差的平方和Q 来表示n 个点与相应直线（回归直线）在整体上的接近程度，即 ?? ?? ? ( y2 ? y2 ? 1 2 ? ?n y2 ? 2b?n  x y ? 2a?n  y ? b2 ?n  x2 ? 2ab?n  x ? na2 i i i i i i 合并同类项 Q = ∑(???? ? ?????)2 = ∑(???? ? ?????? ? ??)2 ??=1 ??=1 i ?1 i ?1 i ?1 i ?1 i ?1 求出当Q 取最小值时的a，b 的值，就求出了回归方程． ? n y ?n x ? ???i i ?n ? ? ? ?n ?n ? na2 ? 2na ? i ?1 ? b i ?1 ? ? b2 x2 ? 2b x y ? y2 下面给出回归方程的推导方法一： ? n n ??i ? ? i ?1 i ?1 i i i i ?1  a，b 一、先证明两个在变形中用到的公式 ? ? 以 的次数为标准整理 ?n (x  ? x)2 ? ?n  x2 ? nx 2 x ? ? na2 ? 2na( y ? bx ) ? b2 ?n x2 ? 2b?n x y ??n y2 公式（一） ??i ? i ，其中 n i i i ? ? ? i 转化为平均数 x，y i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 ∵?n  (x ? x)2 ? (x  ? x)2 ? (x  ? x)2 ? ? (x ? x)2 ? n[a ? ( y ? bx )]2 ? n( y ? bx )2 ? b2 ?n x2 ? 2b?n x y ? ?n y2 证明： i 1 2 n i i i i 配方法 i ?1 i ?1 i ?1 i ?1 ? x2 ? x2 ? ? x2 ? 2nx 1 2 n n  nx 2 ? n[a ? ( y ? bx )]2 ? ny 2 ? 2nbxy ? nb2 x2 ? b2 ?n x2 ? 2b i ?n x y ? ?n y2 i i i 展开 ? (x2 ? x2 ? ? x2 ) ? 2nx 2 ? nx 2 ? (x2 ? x2 ? ? x2 ) ? ?n x2 ? nx 2 i ?1 i ?1 i ?1 1 2 n 1 2 n i i ?1 ? n[a ? ( y ? bx )]2 ? b2 (?n x2 ? nx 2 ) ? 2b(?n x y ? nxy ) ? (?n y2 ? ny 2 ) ∴?n (x ? x) ? ?n x  nx 2 i i i i 整理? ? ? 整理 ii i i ?1 2