专题4 勾股定理中的分类讨论.docxVIP

PAGE 1 PAGE 1 专题4 勾股定理中的分类讨论 类型一 直角不明时要分类讨论 【例1】在Rt△ABC中，∠BAC = 90°，AB = AC = 2.以AC为一边，在△ABC外部作等腰直角△ACD，求BD的长. 【解答】 ①如图1，当∠DAC = 90°时，BD = 2AB = 4； ②如图2，当∠ACD = 90°时，BD = 2 = 2； ③如图3，当∠ADC = 90°时，BC = 2，由勾股定理得 2CD 2 = AC 2解得CD ==， ∵∠BCD = ∠ACB + ∠ACD = 45° + 45° = 90° ∴BD = . 综上所述，BD的长为4或 2或. 类型二 动点位置不明时要分类讨论 【例2】在Rt△ABC中，∠A = 90°，有一个锐角为60°，BC = 6，若点P在直线AC上（不与点A，C重合），且∠ABP = 30°.求CP的长. 【解答】如图1， 当∠C = 60°时，∠ABC = 30°，与∠ABP = 30°矛盾； 如图2，当∠C = 60°时，∠ABC = 30° ∵∠ABP = 30°，∴∠CBP = 60°， ∴△PBC是等边三角形， ∴CP = BC = 6； 如图3， 当∠ABC = 60°时，∠C = 30°， ∵∠ABP = 30° ∴∠PBC = 60° - 30° = 30° ∴PC = PB， ∵BC = 6， ∴AB = 3， 设AP= a，则PB =2 a， AB =， ∴ ∴PC=PB =2， 如图4，当∠ABC = 60°时，∠C = 30° ∵∠ABP = 30°， ∴∠PBC = 60° + 30° = 90°， 设PB= a，则PC =2 a， BC =， ∴ ∴PC==4， 故答案为:6或2或4. 类型三 三角形形状不明时要分类讨论 【例3】在△ABC中，若AB＝20，AC＝15，AD是BC边上的高，AD＝12，试求△ABC的面积． 【解答】作AD⊥BC于D，则AD为BC边上的高，AD=12.分两种情况： ①高AD在三角形内,如图所示：在Rt△ADC中，由勾股定理得： AC 2=AD 2+DC 2， ∴DC=9， 在Rt△ADB中，由勾股定理得： AB 2=AD 2+BD 2， ∴BD=16， ∴BC=BD+DC=16+9=25， ②高AD在三角形外，如图所示： 在Rt△ADC中，由勾股定理得： AC 2=AD 2+DC 2 ∴DC=9， 在Rt△ADB中，由勾股定理得： AB 2=AD 2+BD 2， ∴BD=16， ∴BC=BD?DC=16?9=7， 故答案为：25或7. 类型四 腰不明时要分类讨论 【例4】如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝15cm，AC＝9cm，动点P从点B出发沿射线BC以3cm/s的速度移动，设运动的时间为t s. (1)求BC边的长； (2)当△ABP为等腰三角形时，求t的值． 图1 【解析】（1）因为∠C＝90°，AB＝15，AC＝9 在Rt△ABC中，由勾股定理得：BC=. （2）分两种情况讨论 ①当AB为腰时，分别以A、B为圆心，以AB长为半径画弧，弧与射线BC的交点即为点P的位置，如图2，图3所示. 图2 图3 图2中，BP1=AB=15, 所以t=5. 图3中，AB=AP2，所以BC=CP2=4, ∴BP2=8此时t= ②当AB为底时，作出线段AB的垂直平分线，与BC的交点即为P. 如图4所示，设BP3=x，则BP3=AP3=x，CP3=12-x 图4 在Rt△ACP3中，由勾股定理得： 即：,解得：, 所以 综上所述，当△ABP为等腰三角形时，t的值为 ，5，.