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PAGE PAGE 1 专题3 双直角三角形——双勾股列方程 类型一 作高一连环勾→构建方程 【例1】如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，点D为AC上一点，AB＝10，BD＝8，AD＝3．求CD的长． 【解答】如图2，设CD为x，AC = x + 3. 在Rt△ABC中, ∵∠C = 90°，∴AC2+CB2 = AB2, 即（x+3）2+CB2 = 100. ∴CB2 = 100 -（x+3）2 在Rt△BDC中, ∵∠C = 90°，∴CD 2+CB 2 = DB 2 即x2+CB2 = 64，∴CB2 = 64 - x2 从而64 - x2 = 100 -（x + 3）2 解之得x = 6.5 ∴CD的长为6.5． 【变式1】如图，在△ABC中，BC = 4，AC = 13，AB = 15，求S△ABC. 【解答】如图，过A点作AD垂直于BC的延长线于点D, ∵BC = 4，AC = 13，AB = 15 设CD = a，则BD =4+a， 在Rt△ADC中, ； 在Rt△ABD中, ∴=，解得： ∴ ∴ 类型二 共边→连环勾→构建方程 【例2】如图，在△ABC中，∠ACB = 90°，CD⊥AB于点D，BD = 2，AD = 8，求CD 的长. 【解答】如图，因为BD = 2，AD = 8，设CD = a， 在Rt△ADC中, ； 在Rt△CBD中, ； 在Rt△ACB中, ∴，解得：或（舍去） ∴. 【变式1】如图，在△ABC中，∠C = 90°，点D是BC的中点，AD = 13，AB = 2， 求. 【解答】如图，因为点D是BC的中点，AD = 13，AB = 2, 设CD=BD = a， 在Rt△ADC中, ； 在Rt△ACB中, ； ∴，解得：或（舍去） ∴. ∴ ∴. 【变式2】如图，在正方形纸片ABCD中，点E是CD的中点，将正方形纸片折叠，点 B落在线段AE上的点G处，折痕为AF. 若AD = 4，求CF的长. 【解答】连接EF, ∵四边形ABCD是正方形，AD = 4 ∴AB = CD = AD = 4 ∵点E是CD的中点 ∴DE = EC = 2 ∴ 设BF = a，则FG = a，CP = 4 - a ∵∠B = ∠FGA = ∠FGE = 90° ∴在Rt△EFC中， 在Rt△EFG中， ∴，解得： ∴CF = 4 - a =. 类型三 等边→连环勾→构建方程 【变式3】如图，AD⊥AB，CB⊥AB，AD＝10，BC＝15，AB＝25，且DE＝CE．求AE的长． 【解答】如图，设AE为x，则BE = 25 - x. 在Rt△AED中，∠A = 90°， ∴ AD 2 + AE 2 = DE 2，即x 2+100 = DE 2 在Rt△CBE中，∠B = 90° ∴EB 2 + CB 2 = CE 2，即（25 - x）2 +225 = CE 2. ∵DE = CE ∴x 2+100=（25 - x）2 +225 解之，得x = 15. 即AE的长为15.