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专题6 勾股定理的经典应用 类型一 猴子跳池塘 【例1】如图，两只猴子都从竖直的木杆上距地面5米的D处出发，一只向下爬到B处再走向池塘C，另一只向上爬到杆顶A处直接跳向池塘C，已知它们所经过的路程相同，且BC＝15m，求木杆AB的高度． 【解析】本题既然是求直角三角形的边长，就可以考虑用勾股定理，但因为AC和AB两边未知，所以用勾股定理直接计算行不通．好在“它们所经过的路程相同”，就可以设AD＝x，再用含x的代数式表示出AC，最后利用勾股定理就可列出方程． 解　设AD＝x， 则AC＝20－x， 由勾股定理，得 解得x＝2． 所以木杆高度AB为7米， 【变式1】如图所示，在一棵树的10高的B处有两只猴子，一只爬下树走到离树20处的池塘A处，另外一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离的直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，试问这棵树有多高？ 【解析】其中一只猴子从B→C→A共走了(10+20)=30，另一只猴子从B→D→A也共走了30，并且树垂直于地面，于是这个问题可化归到直角三角形中利用勾股定理解决． 解：设树高CD为，则BD＝－10，AD＝30－(－10)＝40－， 在Rt△ACD中，， 解得：＝15． 答：这棵树高15． 类型二 竹竿入井 【例2】一口井直径为1米，一根竹竿垂直伸入井底，竹竿高出井口米，如图所示若把竹竿斜伸入井底，竹竿刚好与井口持平，那么井深多少米？竹竿长为多少米？ 【解析】本题要抓住“竹竽无论是垂直插入还是斜插长度不变”这一关系，就能设出井深x米，竹竿长为(x＋)米． 解 设井深x米，则竹竿长为(x＋)米． 列出方程，有 解得x＝ 答：井深米，竹竿长为米． 类型三 树干折断 【例3】如图所示，一旗杆在离地面5处断裂，旗杆顶部落在离底部12处，则旗杆折断前有多高？ 【解析】因为旗杆是垂直于地面的，所以∠C＝90°，BC＝5，AC＝12， ∴ ． ∴ ()． ∴ BC＋AB＝5＋13＝18()． ∴ 旗杆折断前的高度为18． 【变式1】学校附近有一棵小树，树高8米，在一次台风来袭时，从A处折断，树根B与树尖C相距4米，求被折断的两部分AC和AB的长度． 【解析】应用勾股定理解决此题的关键是把握好勾股定理中的三个数量．本题中只有一个数量“BC＝4”，结合图形，显然A、B、G三点构成直角三角形；AC、AB、BC满足：AC2＋BC2＝AB2．注意到AC＋AB＝8这个条件，由此运用方程的思想，使问题轻松解决． 解：如图，设AC为x米，则AB为(8－x)米， 评析 勾股定理表达式中有三个量，如果条件中只有一个已知量，通常需要巧设未知数，灵活地寻找题中的等量关系，然后利用勾股定理列方程求解． 类型四 河道宽度 【例4】小华想知道自家门前小河的宽度，于是按以下办法测出了如下数据: 小华在河岸边选取点，在点的对岸选取一个参照点，测得，小华沿河岸向前走选取点，并测得.请根据以上数据，用你所学的数学知识，帮小华计算小河的宽度. 【解析】过点作于点. 由题意可得:，，. ， . 设，在中，可得. 又，即， ，. 答:小华自家门前的小河的宽度为. 类型五 鸟儿捕鱼 【例5】世纪的一位阿拉伯数学家曾提出一个“鸟儿捕鱼”的问题．小溪边长着两棵棕榈，恰好隔岸相望．一棵树高是30肘尺(肘尺是古代的长度单位)，另外一棵高20肘尺；两棵棕榈树的树干间的距离是50肘尺．每棵树的树顶上都停着一只鸟．忽然，两只鸟同时看到棕榈树间的水面上游出一条鱼，它们立刻以相同的速度飞去抓鱼，并且同时到达目标．问这条鱼出现的地方离比较高的棕榈树的树根有多远？ 【解析】画图解决，通过建模把距离转化为线段的长度。 由题意得：AB=20，DC=30，BC=50， 设EC为x肘尺,BE为(50?x)肘尺, 在Rt△ABE和Rt△DEC中， AE2=AB2+BE2=202+(50?x)2, DE2=DC2+EC2=302+x2， 又∵AE=DE， ∴x2+302=(50?x)2+202， x=20， 答：这条鱼出现的地方离比较高的棕榈树的树根20肘尺。 类型六 台风入境 【例6】台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力．如图台风中心在我国台湾海峡的B处，在沿海城市福州A的正南方向240千米，其中心风力为12级，每远离台风中心25千米，台风就会减弱一级，如图所示，该台风中心正以20千米/时的速度沿北偏东30°方向向C移动，且台风中心的风力不变，若城市所受风力达到或超过4级，则称受台风影响．试问： （1）该城市是否会受到台风影响？请说明理由． （2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？ （3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？