专题9 将军饮马问题.docxVIP

PAGE PAGE 1 专题9 将军饮马问题 类型一 单动点问题 【例1】如图所示，牧童在A处放牛，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC＝400米，BD＝200米，CD＝800米，牧童从A处把牛牵到河边饮水后再回家．试问在何处饮水，所走路程最短？最短路程是多少？ 【思路点拨】作点A关于直线CD的对称点G，连接GB，交CD于点E，利用“两点之间线段最短”可知应在E处饮水，再根据对称性知GB的长为所走的最短路程，然后构造直角三角形，利用勾股定理可解决． 【答案与解析】 解：作点A关于直线CD的对称点G，连接GB交CD于点E，由“两点之间线段最 短”可以知道在E点处饮水，所走路程最短．说明如下： 在直线CD上任意取一异于点E的点I，连接AI、AE、BE、BI、GI、GE． ∵ 点G、A关于直线CD对称，∴ AI＝GI，AE＝GE． 由“两点之间线段最短”或“三角形中两边之和大于第三边”可得GI＋BI＞GB＝AE＋BE，于是得证． 最短路程为GB的长，自点B作CD的垂线，自点G作BD的垂线交于点H，在直角三角形GHB中， ∵ GH＝CD＝800，BH＝BD＋DH＝BD＋GC＝BD＋AC＝200＋400＝600， ∴ 由勾股定理得． ∴ GB＝1000，即最短路程为1000米． 【总结升华】这是一道有关极值的典型题目．解决这类题目，一方面要考虑“两点之间线段最短”；另一方面，证明最值，常常另选一个量，通过与求证的那个“最大”“最小”的量进行比较来证明，如本题中的I点．本题体现了勾股定理在实际生活中的应用． 举一反三： 【变式1】如图所示，正方形ABCD的AB边上有一点E，AE＝3，EB＝1，在AC上有一点P，使EP＋BP最短．求EP＋BP的最小值． 【解答】根据正方形的对称性可知：BP＝DP，连接DE，交AC于P， ED＝EP＋DP＝EP＋BP， 即最短距离EP＋BP也就是ED． ∵ AE＝3，EB＝1， ∴ AB＝AE＋EB＝4， ∴ AD＝4，根据勾股定理得： ． ∵ ED＞0，∴ ED＝5， ∴ 最短距离EP＋BP＝5． 【变式2】如图，在△ABC中，∠ACB＝90o，点D是直线BC上一点. 如图，若AC＝BC＝2，点D是BC边的中点，点M是线段AB上一动点，求△CMD周长的最小值； 【解析】(1)如图，作C关于AB的对称点E，连接DE交AB于M，此时，△CMD周长的值最小， ∵AC＝BC，∠ACB＝90o，∴∠BCE＝45o， 连接BE，∴BC＝BE＝2， △CBE是等腰直角三角形， ， ∴△CMD周长的最小值＝ ； 【变式3】如图，在边长为2的等边△ABC中，D为BC的中点，E是AC边上一点，则BE＋DE的最小值为　　　　． 【解析】作B关于AC的对称点B′，连接BB′、B′D，交AC于E， 此时BE＋ED＝B′E＋ED＝B′D，根据两点之间线段最短可知B′D就是BE＋ED最小值， ∵B、B′关于AC的对称，∴AC、BB′互相垂直平分，∴四边形ABCB′是平行四边形， ∵三角形ABC是边长为2，D为BC的中点， ∴AD⊥BC，AD＝，BD＝CD＝1，BB′＝2AD＝2， 作B′G⊥BC的延长线于G，∴B′G＝AD＝， 在Rt△B′BG中，BG＝3，∴DG＝BG﹣BD＝3﹣1＝2，在Rt△B′DG中，B′D＝． 故BE＋ED的最小值为． 【变式4】如图，正方形ABEF的面积为4，△BCE是等边三角形，点C在正方形ABEF外，在对角线BF上有一点P，使PC＋PE最小，则这个最小值的平方为( ) A. B. C. 12 D. 【解析】连接AC、AE，过点C作CG⊥AB，如图所示： ∵正方形ABEF，∴AE⊥BF,OA＝OE， 即可得：E关于BF的对称点是A，连接AC交BF于P， 则此时EP＋CP的值最小，EP＋CP＝AC， ∵正方形ABEF的面积为4，△BCE是等边三角形， ∴AB＝BE＝2，BE＝BC＝2， 在Rt△BCG中，∠CBG＝90o－60o＝30o，BC＝2， ∴CG＝1，， ， ，即这个最小值的平方为. 【答案】B 【变式5】如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD＋PE的和最小，则这个最小值为　　　　． 【解析】连接BD， ∵点B与D关于AC对称，∴PD＝PB，∴PD＋PE＝PB＋PE＝BE最小． ∵正方形ABCD的面积为12，∴AB＝2， 又∵△ABE是等边三角形，∴BE＝AB＝2，故所求最小值为2． 【变式6】如图，在△ABC中，AM平分∠BAC，点D、E分别为AM、AB上的动点， (1)若AC＝4，S△ABC＝6，则BD＋DE的最小值为　　　　 (2)若∠