4数学探究 用向量法研究三角形性质(第1课时)优秀教学设计.docx

课题：用向量法研究三角形的性质（第1课时） 合肥一六八中学 谢东峰 课时教学内容 用向量法研究三角形的性质 （二）课时教学目标 1、通过用向量法证明平面几何中已学的三角形性质，从研究的思路，内容，方法等角度进行梳理，并列出得到已知结论。 发现和证明三角形的其他性质，体验数学探究的过程和方法，体验向量法在探索和证明几何图形性质中的作用。 2、在得到一些三角形性质并撰写和交流小论文的活动中，培养运用数学抽象的思维方式思考并解决数学问题的能力，积累数学活动经验；通过逻辑推理发现和提出命题，探索和表述论证过程，培养有逻辑地表达和交流的能力；提升数学抽象、逻辑推理、数学运算和直观想象等素养。 (四)教学重点与难点 1..教学重点：平面向量在探究三角形性质中的运用； 学会用向量方法探究几何图形的基本步骤与方法。 2.教学难点：平面向量推导三角形性质的过程推导的理解和对结论的应用。探究的过程与研究报告的撰写。 (五)教学过程设计 情境引入：我们知道，向量集数与形于一身，每一种向量运算都有相应的几何意义.例如，向量加法和三角形、平行四边形有密切联系，数乘向量和平行、图形的相似有密切联系，而向量的数量积与距离、夹角有密切联系.向量运算与几何图形性质的这种内在联系，使我们自然地想到:利用向量运算研究几何图形的性质，是否会更加方便、简捷呢?在前面的学习中我们看到，“有了运算，向量的力量无限”.实际上，通过向量运算证明某些几何图形的性质，比平面几何的“从图形的已知性质推出待证的性质”简便多了。例如，平面几何中证明勾股定理时，需要添加辅助线、构造正方形等，不仅复杂，而且不容易想到.但用向量法，我们有: 如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°.根据向量的加法法则，有. BAC B A C 图1 因为 所以 因此 这个证明仅仅用到了“三角形回路(向量加法)”和数量积运算，而且证明过程是程序化的，充分体现了向量运算的作用，确实简单多了。下面请同学们以向量为工具，展开一次数学探究之旅吧. 教师板书：探究的内容:用向量法研究三角形的性质 三角形是简单而重要的平面图形，它是平面几何研究的主角.初中我们对三角形进行了较深入的研究，获得了三角形的许多性质.在数学研究中，常常用新的工具、新的方法对已研究过的对象进行再研究，这不仅可以站在新的高度重新审视研究对象，加深对数学对象的认识，而且可以有所发现.因此，以向量为工具对三角形进行再研究是非常有意义的. 1.回顾初中研究三角形的过程，从研究的思路、内容、方法等角度进行梳理，并列出已经得到的结论. 2.用向量方法对已证的结论进行证明，总结用向量方法处理几何问题的基本程序，并与平面几何中的推理论证过程进行比较，阐述各自的特点. 3.用向量方法证明以往来加证明或你自己新发现的结论.例如，在八年级，我们曾经学过三角形的中线，知道“三角形的三条中线相交于一点，这个交点叫做三角形的重心”。而物理学知识告诉我们，重心是物体各部分所受重力的合力的作用点，形状规则且密度均匀的物体的重心就是它的几何中心“重心”是几何学和物理学的共同研究对象，应该是很重要的，但我们对它知之甚少.那么，它到底有哪些神秘的性质呢? 其实，从严谨性的角度看，三角形的两条中线相交于-点是肯定的，但第三条中线是否经过这个交点是需要证明的.下面我们就用向量方法来探究它是否成立. 新课讲解： 探究内容 问题1：回顾初中研究三角形的过程，研究的思路、内容、方法是什么？ 问题2：总结用向量的方法处理几何问题的基本程序，并与平面几何中的推理论证过程进行比较，阐述各自的特点。 教师提出问题，学生进行回顾、思考、讨论并回答，教师及时总结。 问题3：用向量的方法证明“三角形的三条中线相交于一点，这个交点叫做三角形的重心” 学生进行思考、讨论、探究、，派代表上黑板写出证明过程，教师点评。 追问：怎么样用向量法证明三条中线交于一点？该点把一条中线分成的两个线段有什么数量关系呢？ CD C D B A F E O 图2 例1.如图2，在中，D，E，F分别是BC，CA，AB的中点，设BE，CF交于一点O，连接AO，OD。证明 =2 证明： 取,为基底，并设=,=,则 =+=+; =+=+; 所以=-=2-2 =2(+)-2(+)=2(-1)-2（-1） 又因为=-，所以由平面向量基本定理，得 2(-1)=-1，2（-1）=-1 解得：=，= 所以=，= 因此=-=+=++,=-=+=(+),于是=2 教师提问：这个发现说明了什么？ 学生：说明三角形的重心分每条中线为1:2的两条线段，即三角形的重心是中线的三等分点（学生如不能得出上述结论，教师可适当引导） 教师追问：这个