5数学探究 用向量法研究三角形性质(第2课时).docx

课题：用向量法研究三角形的性质 合肥一六八中学 刘大锐 第二课时 课时教学内容 用向量法研究三角形的性质（2） 课时教学目标 1.以三角形为研究对象，用向量法对其性质在研究，进一步了解向量法在研究几何问题的作用。 2.在对三角形性质的研究中，使学生对数学探究活动形成较为完整的体验。 3.三角形的三线四心的向量表达和运用。 教学重难点 重点：用向量法研究几何图形性质步骤与方法的完善。 难点：探究过程中研究报告的撰写的完善，以及三线四心的向量表达和应用。 （四）教学过程设计 由上节课布置的小组任务，让各小组组长上台展示 （1）、探究2、三角形的角平分线交点内心的向量表示 师生互动：第一组展示课下研究的成果。 教师总结： 研究结果应用： 问题1：如图所示，在中，AE是的平分线，你能用，表示吗？ 证明：过点E作EF// AC交AB于点F，作EG//AB交AC于点G，如图所示，由此得到平行四边形AGEF,所以.设，是和方向上的单位向量，,，所以. 由AE平分∠FAG，得四边形AGEF为菱形。,故.根据点E在直线BC上， 易知,所以 三角形角平分线向量表示; 问题2：若P是所在平面内一点，角所对三边长分别为且求证： ， CBD C B D A P 师生总结：共线法破解“内心”问题，主要是通过构造与角平分线共线的向量，以确定有关内心问题. 目标检测： 例1、O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，，则P的轨迹一定通过的（ ） A、外心 B、内心 C、重心 D、垂心 设计意图：此题是一个涉及平面向量和三角形心问题的知识交汇问题，可利用平面向量的性质破解，即共线法化解. 解析：如图所示，“”表示与同向的单位向量,设；“”表示与同向的单位向量，设，由向量的平行四边形法则，知， 又，，则与共线，由于平分角，所以P点的轨迹一定通过三角形ABC的内心，即选B. 设计意图：学生的对三角形内心用向量法表示的理解 （2）、探究3、三角形的高线交点垂心的向量表示 师生互动：第二组展示课下研究的成果。 教师总结： 研究结果应用： 问题1：如图所示，在中，AF是BC边上的高，你能用,表示吗？ 解：由B，F，C三点共线，设.由AFBC,得 所以.所以. 所以 问题2：证明：为的垂心 目标检测： 例2、设O是的外心，点M满足++=，则M是（ ） A、内心 B、重心 C、垂心 D、的任意一点 设计意图：这是一个涉及到平面向量和三角形的四心交汇的问题，通过对给定平面向量的等式转化确定M是三角形的“心”，破解的方法是利用向量的点积，导出垂直关系，从而判定其为垂心. 解：因点M满足++=，则有+=+=，因（+）（+）（）=（主要是O是的外心，），因此也有0，即，同理有，，因此M为的垂心.应选C 探究心得：利用向量的点积判垂心具有很好的效果，对有关“心”问题的破解起到一针见血的作用，应该说只有运用得当，一般的垂心问题便可迎刃而解. FCE F C E B D A O 图3 师生互动：第三组展示课下研究的成果 探究结果应用： 例题3、用向量方法证明：三角形的三边的垂直平分线交于一点。 目标检测： FCEBDAO1.如图3所示，三角形ABC的三边BC,AC,AB的中点分别为,D,E,F,BC和AC边上的垂直平分线交于点 F C E B D A O 证明：因为BC和AC边上的垂直平分线交于点O，则OD⊥BC,OE⊥AC,连接OA,OB,OC，如图所示 设,,,则，， ，得即 同理可得 得到 所以,又点为中点，所以,即边上的垂直平分线过点O，所以三角形三边的垂直平分线交于一点。 概括总结： 1、三角形的垂直平分线的交点为三角形的外心，还可以得到外心到三角形的三个顶点的距离相等，于是外心也是三角形外接圆的圆心。 2、在三角形ABC中， 是的外心． 2.已知为所在平面内一点，满足，则点是的 （ ） 重心 B．垂心 C．外心 D．内心 解析：设OA=a, 由题意可知，OA2+ a2+c ∴OC?AB=0∴OC⊥AB同理可证OB⊥AC,OA⊥BC, （五）梳理小结，深化理解 1、平面向量的中线，中垂线，角平分线以及高的表示。 2、重心，外心，内心，垂心的向量表示； 3、探究“一个平面几何问题”的基本方法步骤。 （六）目标检测，验证效果 1.已知三个顶点及平面内一点，满足,若实数满足：，则的值为____3_____ 点在内部且满足，则面积与凹四边形面积之比是_____54_ 设计意图：检测学生对基本知识和基本及基本技能的掌握情况. （七）课后作业: 1、第52页第2题第61页第15题 2、了解向量“奔驰定理”。