9-6.2向量的运算习题课优秀教学设计.doc

课题：6.2.4 向量的运算习题课 (一)课时教学内容 回顾向量的线性运算和数量积运算定义及运算律，在此基础上解决向量的数量积计算问题、向量垂直问题、向量的夹角问题以及向量的模长问题. (二)课时教学目标 1.通过复习回顾，进一步加深对向量线性运算、向量数量积运算的定义的掌握；. 2.体会向量数量积运算的运算律，并在实际应用中灵活使用这些运算律. 3.能运用数量积解决向量垂直问题，求向量的夹角和模长，体会向量运算规律，提高数学运算素养. (三)教学重点与难点 1.教学重点：掌握向量线性运算和数量积运算，熟练使用运算律进行计算. 2.教学难点：用向量的数量积解决垂直、夹角以及模长问题. (四)教学过程设计 1.创设问题情境，提出研究问题 引导语：前面我们学习了向量的运算，包括向量的加减法、数乘以及数量积运算，并且研究了它们的运算律，本节课是巩固向量运算的习题课. 首先，我们简单回顾向量的加减法、数乘以及数量积运算： 问题1：如何用平行四边形法则和三角形法则进行向量的加减法运算？加减法满足哪些运算规律？ 师生活动：提问学生，然后视回答情况由老师进行总结归纳，师生一起回顾加减法运算. ①三角形法则：向量与相加时，的终点B作为的起点，这时起点A到终点C的向量就是这两个向量的和向量，即. 这种求向量和的方法叫三角形法则. （注意：两个向量要“首尾”相接） （减法：） ②平行四边形法则：由同一点A为起点的两个已知向量为邻边作平行四边形ABCD，则以A为起点的向量就是向量的和. 这种作两个向量和的方法叫做平行四边形法则 问题2：向量的数乘运算是如何定义的？数乘满足哪些运算规律？ 师生活动：提问学生，然后视回答情况由老师进行总结归纳，师生一起回顾数乘运算. ①向量的数乘：求实数与向量的乘积的运算叫向量的数乘，记作. 规定：(1)　仍然是个向量; (2);(3) 当时向量的方向与的方向相同，当时，向量与的方向相反，当时，. ②设、为实数，、为向量. 则： ⑴ ⑵ ⑶ （数乘运算满足交换律、结合律、分配律） 问题3：向量的夹角、向量的数量积运算是如何定义的？投影的概念？向量数量积的几何意义？ 师生活动：提问学生，然后视回答情况由老师进行总结归纳，师生一起回顾. ①两个非零向量夹角的概念：已知非零向量与ｂ，作＝，＝，则（）叫与的夹角. 当＝０时与同向；当＝π时，与反向；当＝时，与垂直，记作⊥； ②平面向量数量积（内积）的定义: 已知两个非零向量与ｂ，它们的夹角是，则数量||||叫与的数量积，记作?，即? = ||||，（符号由的符号所决定） ③“投影”的概念：||叫做向量在方向上的投影. 投影是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当= 0?时投影为 ||；当 = 180?时投影为 ?|| ④向量的数量积的几何意义：数量积?等于的长度与在方向上投影||的乘积. ⑤数量积性质：?= ?=|| ，?? ?= 0，当与同向时，? = ||||；当与反向时，?= ?||||. 特别地：?= ||2 问题4：向量的数量积运算满足哪些运算规律? 师生活动：提问学生，然后视回答情况由老师进行总结归纳，师生一起回顾. 平面向量数量积的运算律: ①交换律：?=? ②数乘结合律：()?=(?) = ?() ③分配律：(+ )?= ?+ ? 设计意图：回顾前几个学习的向量运算定义及性质，为习题课的展开做好充分的准备. 2.探索应用，整体认知，讲解范例： 例1、已知＝２，＝５，＝－３，求， 师生活动：学生先独立思考，再分小组讨论，尽量让同学们完整的写出解题过程，然后再分小组展示交流，得到完整规范的解答． 预设解题思路： ∵ ∴ ∵∴｜－｜＝ ∴ 设计意图：此题体会用向量的数量积解决向量的模长问题，注意公式?的使用. 例2. 已知向量的夹角是，且，若，且，则实数的值是____________ 师生活动：学生先独立思考，再分小组讨论，尽量让同学们完整的写出解题过程，然后再分小组展示交流，得到完整规范的解答． 预设讨论设计： 题中的模长与夹角已知，所以选择用它们去表示，再根据求出即可。 预设解题思路： 记，则 即 ① 从而①式变为： 解得 设计意图：此题用向量的数量积解决向量垂直问题，两个非零向量垂直可以用数量积为0来刻画。 已知、都是非零向量，且+ 3与7? 5垂直，? 4与7 ? 2垂直，求与的夹角 师生活动：学生先独立思考，再分小组讨论，尽量让同学们完整的写出解题过程，然后再分小组展示交流，得到完整规范的解答． 预设解题思路： 由(+ 3(7 ? 5) = 0 ? 72 + 16? ?152 = 0 ① ( ? 4(7 ?