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专题2 勾股定理与特殊角问题——化斜为直 类型一 30°或45°或60°→延长→构造特殊直角三角形 【例1】如图，在四边形ABCD中，∠A=，∠B=∠D=，AB=2，CD=1.则BC和AD的长分别为_______和_______. 【解答】考虑到图中含有和的角，若延长AD、BC相交于E，则可以构造出Rt△AEB和Rt△CED，易知∠E=，从而可求出DE=，AE=4，BE=2，故AD=4-，BC=2-2. 【变式1】如图所示，在多边形ABCD中，AB＝2，CD＝1，∠A＝45°，∠B＝∠D＝90°，求多边形ABCD的面积． 【解答】延长AD、BC相交于点E ∵ ∠B＝90°，∠A＝45° ∴ ∠E＝45°，∴ AB＝BE＝2 ∵ ∠ADC＝90°，∴ ∠DCE＝45°， ∴ CD＝DE＝1 ∴ ，． ∴ ． 类型二 30°或45°或60°→作垂线→构造特殊直角三角形 【例2】如图，在△ABC中，BC =+，∠B = 30°，∠C = 45°，求AC的长. 【解答】过点A 作AD⊥BC，则△ACD等腰直角三角形， 设AD=x，中CD=AD=x, AC=, AB=2x, BD=, 所以BC=BD+CD= 所以,所以AC= 【变式1】如图所示，在△ABC中，∠A＝45°，，，求BC的长． 【解答】过点C作CD⊥AB于D，则△ACD和△BCD均为直角三角形． 在Rt△ACD中，∠A＝45°， ∴△ACD为等腰直角三角形，∴AD＝CD， 由勾股定理，得． 又∵，∴ AD＝CD＝1． ∴ BD＝AB－AD＝． 在Rt△BCD中，由勾股定理，得， 即，∴ BC＝2． 类型三 75或105°作垂线→转化为30°或45°的直角三角形 【例3】如图，在△ABC中，∠B = 45°，∠A = 75°，AC = 2，求AB的长. 【解答】作AD⊥BC于D， ∵∠B = 45°，∠BAC = 75°， ∴∠BAD = 45°，∠CAD = 30° ，∴AC = 2CD，AD = BD， ∴CD =，BD = AD = 3， ∴BC = BD + CD =+ 3， AB = AD = 3. 【变式1】如图，在△ABC中，AC = ，∠C = 45°，∠BAC = 105°，求BC的长. 【解答】如图，作AD⊥BC于点D, 在Rt△ADC中: ∵AC =，∠C = 45° ∴∠DAC = ∠C = 45°, ∴AD = CD ∵AD 2 + CD 2 = AC 2 =（）2 = 2 ∴AD = CD = 1 ∵∠BAD = ∠BAC - ∠DAC = 105° - 45° = 60°, ∴∠ABC == 90° - 60°=30° ∴AB=2AD=2 ∴BD = ∴BC = BD + CD = + 1 类型四 120°或135°→作垂线→转化为30°或45°的直角三角形 【例4】如图，在△ABC中，∠C = 120°，∠B = 30°，AB = 2，求AC的长. 【解答】如图，作CD⊥AB于点D, ∵∠C = 120°，∠B = 30° ∴∠A = 180°-120°-30°=30° , ∴CA = CB ∴D为AB中点，AD=AB = 设CD=x, 则AC=2x, 在Rt△ADC中: ,即 解得， ∴AC= 2. 【变式1】如图，在△ABC中，∠C = 30°，∠B = 135°，AB = 2，求AC和BC的长. 【解答】如图，过A点作AD垂直于CB的延长线于点D, ∵∠C = 30°，∠B = 135° ∴∠ABD= 180°-135°=45° , ∴△ABD为等腰直角三角形 ∴ AB =AD=2 ∴BD = AD=2 在Rt△ADC中, AC = 2AD=4, ∴ 类型五 15或22.5°→加倍→转化为30°或45°的直角三角形 【例5】（1）[阅读材料]如图1,在Rt△ADC中,∠C = 90°,∠D = 22.5°,求的值. 解: 在CD上截取BD = AB，则∠ABC = 2∠D = 45°， 设AC = a，则BC = a，AB = BD = a， 又∵CD = BD + CB = （+ 1）a， = [实际运用]如图2，在Rt△ADC中，∠C = 90°，∠D = 15°, 求的值. 【解答】在CD上截取ED = AE，则∠AEC = 2∠D = 30°， 设AC = a，则AE = 2a，EC= a， 又∵CD = ED + CE= 2a+a=(2+)a， = 类型六 150°→分割→转化为含60°和90°的三角形 【例6】如图，在四边形ABCD中，AB=AD=8，∠A=，∠ADC=，已知四边形ABCD的周长为32，求四边形