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专题5 勾股定理的证明——数形结合 1. 毕达哥拉斯证明方法 如图1，将长方形ABCD绕点B顺时针旋转90°，得到长方形A’BC’D’. 其中：AB=a，AD=b，BD=c. 连接BD、BD’、DD’. 在△DCB和△BA’D’中， ∵AB=BA’，∠C=∠BA’D’=90°， BC=A’D’ ∴△ABD≌△C’D’B （SAS） 图1∴BD=BD’ ， ∠DBC=∠A’D’B 图1 ∵∠A’BD+∠A’D’B=90° ∴∠DBD’=90° 即△DBD’为等腰直角三角形. 由题意可知： 即： 化简得： 毕达哥拉斯图形还有其它几种变形，如图2，图3所示. 图2 图3 图2证法如下： 大正方形面积=四个直角三角形面积和+小正方形面积 即：. 化简得：. 图3是由图2变化位置而来，证法与图2一致. 2. 赵爽弦图证明法（如图4） 证法如下： 大正方形面积=四个直角三角形面积和+小正方形面积 即：. 图4化简得：. 图4 3. 刘徽证明法（如图5） 证法如下： . 化简得：. 图 图5 4. 总统证明法（如图6） 证法如下： 梯形面积等于三个直角三角形的面积和. 即： 图6化简得： 图6 【例1】阅读下面的材料 勾股定理神秘而美妙，它的证法多种多样，下面是教材中介绍的一种拼图证明勾股定理的方法．先做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边分别为a，b，斜边为c，然后按图1的方法将它们摆成正方形． 由图1可以得到（a+b）2=4×ab+c2， 整理，得a2+2ab+b2=2ab+c2． 所以a2+b2=c2． 如果把图1中的四个全等的直角三角形摆成图2所示的正方形， 请你参照上述证明勾股定理的方法，完成下面的填空： 由图2可以得到　　 ， 整理，得　 　， 所以　 　． 证明：∵S大正方形=c2，S大正方形=4S△+S小正方形=4×ab+（b-a）2， ∴c2=4×ab+（b-a）2， 整理，得2ab+b2-2ab+a2=c2， ∴c2=a2+b2． 故答案是：；2ab+b2-2ab+a2=c2；a2+b2=c2． 【变式1】已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a+b=14cm，c=10cm，则 LINK Word.Document.8 F:\\数学专用\\八年级下册\\《勾股定理》综合能力检测题.doc OLE_LINK9 \a \r Rt△ABC的面积为 【解析】在直角三角形ABC中，由勾股定理得： 因为a+b=14 所以 即. 所以Rt△ABC的面积为. 【答案】24cm2. 【变式2】中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位，体现了数学研究中的继承和发展. 如图，用4个全等的直角三角形拼成如图所示“弦图”.Rt△ABC中，∠ACB=90°，若AC=b，BC=a，请你利用这个图形解决问题： 如果大正方形的面积是10，小正方形的面积是2，求(a+b)2的值. 【解析】大正方形的面积等于四个直角三角形的面积的和加上中间小正方形的面积 所以 可得： 在直角三角形ABC中，由勾股定理得： ∴ 【答案】14. 【例2】如图，对任意符合条件的直角三角形BAC，绕其锐角顶点逆时针旋转90°得△DAE，所以∠BAE＝90°，且四边形ACFD是一个正方形，它的面积和四边形ABFE的面积相等，而四边形ABFE的面积等于Rt△BAE和Rt△BFE的面积之和，根据图形写出一种证明勾股定理的方法． 【解析】由图可得正方形ACFD的面积=四边形ABFE的面积=Rt△BAE和Rt△BFE的面积之和，即S正方形ACFD=S△BAE+S△BFE， ∴b2=c2+，整理得：a2+b2=c2. 【变式1】勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感. 图1 图2 他惊喜的发现：当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明.下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程：?将两个全等的直角三角形按图18所示摆放，其中∠DAB＝90°. 求证：a2＋b2＝c2. 证明:连接DB，过点D作BC边上的高DF，则DF＝EC＝b－a. ?∵S四边形ADCB＝S△ACD＋S△ABC＝ QUOTE 12 b2＋ QUOTE 12 ab， ?又∵S四边形ADCB＝S△ADB＋S△DCB＝ QUOTE 12 c2＋ QUOTE 12 a(b－a)， ?∴ QUOTE 12 b2＋ QUOTE 12 ab＝ QUOTE 12 c2＋ QUOTE 12 a(b－a).