专题8 用勾股定理探求几何体中的最值问题.docxVIP

PAGE PAGE 1 专题8 用勾股定理探求几何体中的最值问题 类型一 圆柱(锥)中的最值问题 【例1】有一圆形油罐底面圆的周长为24 m，高为6m，一只老鼠从距底面l m的A处爬行到对角B处吃食物，它爬行的最短路线长为多少? 【解答】由于老鼠是沿着圆柱的表面爬行的，故需把圆柱侧面展开成平面图形．根据“两点之间线段最短”，可以发现A、B分别在圆柱侧面展开图的宽l m处和长24m的中点处，即AB长为最短路线．(如图1) 解AC=6-1=5，BC=24×=12． 由勾股定理得AB2=AC2+BC2=52×122=169， ∴ AB=13(m)． 【变式1】如图①，有一个圆柱，它的高等于12，底面半径等于3，在圆柱的底面A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点的食物，需要爬行的最短路程是多少?(π取3) 【解答】如图②所示，由题意可得： ， 在Rt△AA′B中，根据勾股定理得： 则AB＝15． 所以需要爬行的最短路程是15． 【变式2】如图，圆柱形无盖玻璃容器高18 cm，底面周长为60 cm，在外侧距下底1 cm的点C处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的外侧距上口1 cm的F处有一苍蝇，试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线的长度． 解答：如图为圆柱形玻璃容器的侧面展开图，线段CF是蜘蛛由C到F的最短路程. 根据题意，可知DF=18-1-1=16（cm），CD=12×60=30（cm）， ∴CF==34（cm）， 即蜘蛛所走的最短路线的长度是34cm. 【变式3】如图，圆柱形容器高为18cm，底面周长为24cm，在杯内壁离杯底4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到达内壁B处的最短距离为___cm. 解答：如图,将杯子侧面展开,作A关于EF的对称点A′， 连接A′B,则A′B即为最短距离， 在直角△A′DB中，由勾股定理得 A′B===20(cm) 故答案为：20. 【变式4】如图，圆柱形玻璃杯高为12cm、底面周长为18cm，在杯外离杯底4cm的点C处有一些蜂蜜，此时一只蚂蚁正好也在杯外壁，离杯上沿4cm的点A处，（1）求蚂蚁要吃到甜甜的蜂蜜所爬行的最短距离。（2）若将蜂蜜的位置改为在杯内离杯底4cm的点C处，其余条件不变，请你求出此时蚂蚁吃到蜂蜜的最短距离。 解答：（1）如图，由题意可得;CD=9侧面,AD=12?4?4=4(cm)， ∴AC==(cm)， 答：蚂蚁要吃到甜甜的蜂蜜所爬行的最短距离为cm， （2）如图，将杯子侧面展开,作A关于EQ的对称点A′,连接A′C,则A′C即为最短距离， 则A′D=12×18cm=9cm，CQ=12cm?4cm=8cm，CD=4cm+8cm=12cm， 在Rt△A′DC中,由勾股定理得：A′C===15(cm) 答：蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为15cm. 【变式5】一圆形饭盒，底面半径为8cm，高为12cm，若往里面放双筷子（精细不计），那么筷子最长不超过多少，可正好盖上盒盖？ 解：如图所示，因为饭盒底面半径为8，所以底面直径DC长为16． 则在Rt△BCD中，， 所以 ()． 答：筷子最长不超过20，可正好盖上盒盖． 【总结升华】本题实质是求饭盒中任意两点间的最大距离，其最大距离是以饭盒两底面的一对平行直径和相应的两条高组成的长方形的对角线长． 类型二 正方体中的最值问题 【例2】如图，棱长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A出发沿着正方体的外表面爬到顶点B的最短距离是( )． A．3 B． C．2 D．1 分析 由于蚂蚁是沿正方体的外表面爬行的，故需把正方体展开成平面图形(如图2)，AB即为所求． 解 可知AC=1，BC=2． 由勾股定理得AB2=AC2+BC2=12×22=5，∴AB=．故选B 类型三 长方体中的最值问题 【例4】如图是一个长方体盒子，长AB＝4，宽BC＝2，高CG＝1． (1)一蚂蚁从盒子下底面的点A沿盒子表面爬到点G，求它所行走的最短路线的长． (2)这个长方体盒子内能容下的最长木棒长度的平方为多少？ 提示：(1)需展开成平面图形，分三种情况讨论蚂蚁行走的路线． (2)即求AG的长度的平方． 解答：(1)蚂蚁从点A爬到点G可能经过长方体盒子的前面和右面，也可能经过长方体盒子的前面和上面，还可能经过长方体盒子的下面和右面，展开成平面图形如图②所示，由勾股定理计算出AG2的值分别为37、25、29，比较后得AG2最小为25，即最短路线的长是5． (2)如图③，在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC2＝