《基本不等式(第一课时)》教学设计.doc

PAGE PAGE 1 《基本不等式:(第一课时)》教学设计 一、教学内容解析 相等关系和不等关系是数学中最基本的数量关系，是构建方程、不等式的基础。基本不等式是一种重要而基本的不等式类型，在中学数学知识体系中是非常基础且重要的内容，具有承前启后的作用。 基本不等式与很多重要的数学概念和性质相关，从“数”与“形”的角度都可以进行证明和解释，而且证明方法很多，基本不等式的代数结构也是数学模型思想的一个范例。在理解和应用基本不等式的过程中可以发展和培养学生的逻辑推理、直观想象、数学运算和数学建模素养。 基于以上分析，确定本节课的教学重点为：基本不等式的定义、证明方法、几何解释和简单应用 教学目标设置 （1）发现和理解基本不等式，发展数学抽象、逻辑推理和直观想象素养。 （2）用基本不等式解决简单的求最值问题，发展数学运算和数学建模素养。 三、学生学情分析 本节课的授课对象是高二年级的学生，他们已经具备了平面几何的基本知识，具有一定的图形分析能力和抽象概括能力，他们也已经学习了函数的最值问题以及不等式的性质和解法，但对于基本不等式的多种代数几何背景的理解及用基本不等式解决一些最值问题还有些困难。 四、教学策略分析 本节课采用情境导入、问题驱动课堂教学模式：即以“基本不等式的发现与证明”为基本研究内容，设置环环相扣的“问题链”，在教师适当引导下，学生通过观察、操作、探究等学习活动，发现并证明基本不等式，在此过程中逐步提高推理论证能力及数形结合能力。 五、教学过程设计 教学过程分六个环节：即设置情境，导入新课抽象概括，发现基本不等式逻辑推理，证明基本不等式数形结合，几何解释基本不等式基本不等式的简单应用归纳小结，布置作业。 环节一：设置情境，导入新课 向学生展示第24届国际数学家大会的会标，会标是根据我国古代数学家赵爽的弦图（图2）设计的，弦图给出了迄今为止对勾股定理最早、最简洁的证明，体现了形与数的统一。教师提出，根据弦图，是否能够得到一些不等关系呢？ 设计意图：通过介绍国际数学大会会标以及赵爽弦图的相关背景，体现数学的文化价值，渗透爱国主义教育，增强学生的文化认同和自信，同时也为接下来学生通过图形发现不等关系做好铺垫。 环节二：抽象概括，发现基本不等式 问题1：将图1中的会标抽象成图3，在正方体中有4个全等的直角三角形，设直角三角形的直角边的长为，能否从正方形、三角形的面积角度来思考，寻找相等关系和不等关系？ 在学生给出初步结果的同时追问：对于上面的不等式，左右两边可以相等吗？何时相等？ 设计意图：引导学生利用图形中的面积之间存在的数量关系，抽象出重要不等式，从图形上对式子等号成立的条件进行几何解释，增强学生用图“形”表现“数”、用“数”解释图“形”的意识。 问题2：对于上面的不等式，你能给出代数证明吗？ 设计意图：几何观察具有一定的片面性，采用代数推证，培养学生思维的严谨性，也能将变量的适用范围推广到一切实数。 完成以上两个问题之后，教师进行总结： 重要不等式：若 当且仅当时，等号成立。我们将上面得到的不等式 重要不等式：若 当且仅当时，等号成立。 继续向学生提出问题3： 问题3：当时，如果用分别代替重要不等式中的，那么不等式有何变化呢？ 设计意图：让学生体会一般到特殊的数学思想，同时能够认识基本不等式重要不等式之间的区别与联系。 学生不难发现不等式结构上的变化，在此教师给出基本不等式及相关的定义。 环节三：演绎推理，证明基本不等式 问题4：前面我们通过重要不等式的特殊情形得到了基本不等式。那么，我们能否直接利用不等式的性质推导出基本不等式呢？ 设计意图：学生利用已经获得的知识和方法可能会选择用作差比较法进行证明，在此给予肯定，同时引导学生进行分析法证明基本不等式。 进一步追问： 追问（1）：能否归纳以下上述证明方法的思路吗？ 追问（2）：结合教材98页，说说分析法证明的格式是怎样的？ 设计意图：引导学生认识分析法的证明思路和一般格式，为学生后续学习中的推理和证明提供更加丰富的策略。 环节四:数形结合，几何解释基本不等式 本环节通过学生活动和教师引导，给出基本不等式的两种几何解释。首先组织学生活动： 活动：学生拿出两张大小不同的正方形的纸，并把它们分别沿对角线对折成两个等腰直角三角形。假设两个正方形的面积分别是，那么如何对这两个等腰直角三角形进行拼接和裁剪可以构成一个长和宽分别的矩形？ 问题5：